İSTEMBİL

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

KATEGORİLER
İSTEMBİL Blog - Hepsi
Hayatın İçinden Bilim
Bilim ve Teknoloji
Oradan Buradan
Hayatın İçinden Bilim

ŞANS OYUNLARI VE İSTATİSTİK BİLİMİNİN BİZLERE SÖYLEDİKLERİ

8 Mart 2018, A. Özbay

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

Bir çoğunun hayalini süsler şans oyunlarından birinde (Milli Piyango, Sayısal Loto gibi) büyük ikramiyeyi kazanmak. Hele hele bu oyun Sayısal Loto gibi bir şans oyunu ise ve büyük ikramiye kazanan çıkmayınca bir sonraki haftaya devrede devrede 20-30 milyon ₺'ye kadar yükseldiyse... Tabii büyük ikramiye yükseldikçe umutlar da oynayan sayısı da ikramiye ile beraber artar. Kazanılacak ikramiye ile kimisi ev, araba almak ister, kimisi iş kurmak vs. Eşe dosta, yakınlarına maddi destekte bulunmak ve/veya çeşitli vakıf ve yardım kurumlarına bağış yapmak da yer alır genelde planlanan şeyler arasında. Peki ama neden şimdi bu konuda yazmak istedik, onu açıklayalım öncelikle. Şu aralar İSTEMBİL olarak gündemimizin büyük bölümünü sponsor bulma konusu oluşturuyor. Böylelikle takımımız bütün zamanını İSTEMBİL'e ayırabilecek ve İSTEMBİL ziyaretçilerinin beklentilerini hazırlanan hızlı içerik ile karşılayabilecek. Bu konuda bir kaç öğrencimizden neden şansınızı şans oyunlarında denemiyorsunuz önerisi geldi. Yılbaşı döneminde bizlerin de aklından geçmedi değil bu düşünce. Ancak bu düşüncenin ömrü bizde çok uzun sürmedi. İşte biz de bu yazımızda her hafta ülkemizde milyonların kazanma umutları ile oynadığı bu şans oyunlarından ve bu düşüncenin bizde neden hızla öldüğünden biraz da farklı bir pencereden bakarak bahsetmek istedik.

Tabii bunlar şans oyunu olunca, dilerseniz önce olasılık hesaplarını yapalım ve kazanma ihtimallerimizin ne olduğunu bir şans oyunu seçerek görelim. Bu yazıda örnek şans oyunu olarak Sayısal Lotoyu seçtik. Ancak olasılık hesapları diğer şans oyunları için de burada kullanacağımız yaklaşımla rahatlıkla yapılabilir. Sayısal Loto oyununu bilmeyenler için hızlıca önce oyundan bahsedelim. Sayısal Loto oyunu, üzerinde 1'den 49'a kadar sayıların yazılı olduğu toplardan rastgele çekilen altı topun ne olduğunu bilme oyunudur. Bu oyunda topların hangi sıra ile çekildiğinin bir önemi yoktur. Eğer bu sayıların hepsini bilirseniz büyük ikramiyeyi kazanırsınız ve kazanacağınız büyük ikramiye, eğer bir önceki haftadan devretmedi ise, 1 ile 2 milyon ₺ civarında olur genelde. Eğer bu sayılardan yalnızca beşini bildiyseniz, bu 3-10 bin ₺ arasında bir ikramiye kazandınız demektir. Dört bilen 100 ₺ altında, üç bilen ise 10-20 ₺ civarında bir ödül kazanır. Artık kazanılan miktarları bildiğimize göre, şimdi bu bahsi geçen ödülleri kazanma ihtimallerimizi hesaplayalım.

  • Büyük ikramiyeyi kazanma yani altı sayının altısını da bilme ihtimali: Çekilen sayıların sırası önemli olmadığı için bu 49 sayıdan kaç farklı 6 sayı kombinasyonu oluşturabiliriz önce onu hesaplamamız lazım. Bunun için 49'un 6'lı kombinasyonunu yani $C(49,6)$'yı hesaplayacağız. Bu da bize

    $$ C(49,6) = {49! \over {(49-6)!\times 6!}} = 13\,983\,816 $$

    sayısını verir ve Milli Piyango tarafında yapılan çekilişte bunlardan yalnızca bir tanesi çıkar. Bütün kombinasyonların çekilen Kazanma olasılığını şöyle hesaplayabiliriz: kazandıran kombinasyon sayısı bölü toplam kombinasyon sayısı [1]. Yani altı tutturma olasılığı

    $$ O(6) = {1 \over 13\,983\,816}$$

    olacaktır, yani $13\,983\,816$'da bir. Burada $O(6)$ altı bilme ihtimalidir. Bunun ne kadar düşük bir olasılık olduğunu söylememize gerek yok sanırım. Bu durumu şuna benzetebiliriz. Bir kesede $13\,983\,816$ top var ve bunlardan yalnızca bir tanesi kırmızı. Bu keseden kırmızı çekme olasılığınız büyük ikramiyeyi kazanma olasılığınızla aynı olacaktır. Birisi samanlıkta iğne aramak mı dedi?

  • Beş bilme ihtimali: Burada da yine kesemizde $13\,983\,816$ top ya da farklı $6$ sayı kombinasyonu var. Bu toplardan beş bilerek kazandıranlar, Milli Piyango tarafından çekilen/çekilecek altı sayıdan beşini içerisinde barındırmalı. Bu şekilde kaç farklı kazandıran kombinasyon oluşturabiliriz?

    Bunu da şu şekilde izah edelim. Çekilen $6$ sayıdan beşini içeren kaç farklı kombinasyon oluşturabiliriz önce bunu hesaplayalım. Bu altının beşli kombinasyonu olacak, $C(6,5) = 6$. Tabii bu beş sayı kombinasyonunun herbirini altıya tamamlamak için Milli Piyango tarafından çekilmeyen $49-6=43$ sayıdan birine daha ihtiyacımız olacak ki bunu da $C(49-6,1)=C(43,1)=43$ farklı şekilde yapabiliriz. Yani Milli Piyangonun yaptığı çekilişte çıkan sayılardan yalnızca beşini içeren $C(6,5) \times C(43,1)=258$ farklı kombinasyon olacak. Bunlara da benzetmemizde yeşil toplar diyelim isterseniz. Bu durumda beş bilerek kazanma ihtimalimiz;

    $$ O(5)={{C(6,5) \times C(43,1) } \over C(49,6) } = {258 \over 13\,983\,816} \cong {1 \over 54\,201} $$

    olacaktır. Burada $O(5)$ beş bilme ihtimalidir. Yani $13\,983\,816$ top içerisindeki $258$ yeşil toptan birini çekme ihtimalimiz $54\,201$'de birdir.

  • Dört tutturma ihtimali: Burada da yine aynı mantığı kullanacağız; kazandıran kombinasyon sayısı bölü toplam kombinasyon sayısı. Milli Piyango tarafından yapılan çekilişte çıkan altı sayıdan kaç farklı dörtlü kombinasyon oluşturabilirizin cevabı $C(6,4) = 15$ olacak. Bu kombinasyonlardan herbirini çekilişte çıkmayan $43$ sayıdan ikisi ile kaç farklı şekilde kombinleyebiliriz sorusunun cevabı da $C(43,2) = 903$ olacaktır. Yani bize dört bildirecek kombinasyon sayısı $C(6,4) \times C(43,2) = 13\,545$ olacak, bunlarada mavi top diyelim isterseniz. $13\,545$ tanesi mavi olan $13\,983\,816$ toptan mavi top çekme olasılığımız bu durumda

    $$ O(4) = {{C(6,4) \times C(43,2) } \over C(49,6) } = {13\,545 \over 13\,983\,816}\cong {1 \over 1032} $$

    olur. Yani dört bilme olasılığımız $1032$'de birdir.

  • Son olarak üç tutturma ihtimali'de

    $$ O(3)={{C(6,3) \times C(43,3) } \over C(49,6) } = {246\,820 \over 13\,983\,816} \cong {1 \over 57} $$

    yani $57$'de bir olacaktır. Artık mantığı kavradığınızı düşünüyorum, o yüzden burada artık uzun uzun detaya girmeyelim.

Not1: Burada hesapladığımız $O(x)$'ler tek kolon oynadığımızda kazanma olasılıklarımız. Eğer birden fazla kolon oynarsanız, örneğin $n$ kolon oynadınız diyelim ($n$ küçük olmak kaydı ile), bu durumda $x$ tutturma olasılığınız yaklaşık olarak,

$$ P(x,n) \cong {1 - \left[1-O(x)\right]^n} $$

olacaktır [2]. Burada $P(x,n)$ ile $n$ kolon oynayıp $x$ tutturma olasılığınızı betimliyoruz. Örneğin $100$ kolon oynayıp en az birinde üç tutturma ihtimaliniz:

$$ P(3,100) \cong {1 - \left[1-{1\over 57}\right]^{100}} \cong 0.83 $$

Yani $150$ ₺ harcayıp $100$ defa oynarsanız üç bilerek $3-10$ ₺ kazanma ihtimaliniz $\%83$ oluyor. Oldukça yüksek bir ihtimal olsa da bilemiyoruz denemek istermisiniz?

Not2: Eğer bu hesaplamaları Süper Loto için yapmak istiyorsanız $49$ yerine $54$ kullanmanız gerekecek.

Artık sayısal loto oynadığımızda kazanma ihtimallerimizi biliyoruz. Şimdi bu şans işine biraz daha farklı bir açıdan bakalım. Eğer fırsatını bulursanız Rolf Dobelli'nin Hatasız Düşünme Sanatı adlı kitabını okumanızı tavsiye ederim. Yazar bu kitapta, biz kusursuzluktan oldukça uzak ve fani insanların içine düştüğü düşünce hataları ve önyargılarımızdan dolayı başarı şanslarımızı hep abarttığımızı söylüyor. İşte bu düşünce hatalarından biri de sayısal loto gibi şans oyunu oynadığımızda hep kazanma ihtimallerini düşünerek oynamamız ve kendimizi hep kazananların yerine koymak istememizdir. Tıpkı kendimizi başarılı olmuş iş adamlarının, futbolcuların veya aktör/aktrislerin yerine koyduğumuz gibi. Oysa başarılı futbolcu veya aktör olmak için yola çıkıp da amatör liglerde kariyerleri son bulan veya bekledikleri fırsatı bulamayan aktör sayısı o kadar fazladır ki... Ancak bu başarısızlık hikayeleri, hep kazananları gördüğümüz ve kaybedenleri görmediğimiz veya bizlere gösterilmediği için (genelde başarı hikayeleri otobiyografi/biyografi sattırır ve medyada kendilerine daha fazla yer bulurlar), biz hayal kurarken bir çoğumuzun aklına gelmez. Bu yüzden insanlar herkes kazanıyor (başarılı oluyor), ben de kazanırım (kolayca başarırım) diye düşünüyor ve riskleri görmezden gelebiliyormuş. Buna Kazananlar Önyargısı deniyormuş [3]. Belki de bu yüzden haftalar boyunca oynayıp kaybetmesine rağmen bir çok kişi, bir gün kendilerine de çıkacağından "emin" oldukları için, bu oyunları oynamaya devam eder ve kim bilir yine bu yüzden Milli Piyango web sayfalarında şans oyunları çekiliş sonuçları ilan edildiğinde hiçbir şey kazanamayanların sayısı hiç listelenmez. İşte bu düşünce hatasına düşmemek için dilerseniz burada sayısal loto oynadığımızda hiçbir şey kazanamama ihtimalimizi de hesaplayalım (ve bir ömür boyu her hafta şans oyunu oynasak bile kayda değer bir şey kazanamama şansımızın - buna da şans denirse eğer - çok yüksek olduğunu görelim).

  • Hiçbir şey kazanamama ihtimali: Çok düşük de olsa kazandıran bütün olasılıkları hesapladık. Şimdi de hiçbir şey kazanamama olasılığımızı hesaplayalım. Olasılık hesabında $1$ mutlak kesinliktir. Bu $13\,983\,816$ toptan her hangi bir top çekme ihtimalimiz $1$'dir (%100). Bu toplardan $1$ tanesi kırmızı, $258$'i yeşil, $13\,545$'i mavi ve üç bildiren toplara da sarı der isek de $246\,820$ tanesi sarıdır. Geriye kalanlarda hiçbir şey kazandırmayan beyaz olsun. Tek bir kolon oynadığımızda hiçbir şey kazanmama ihtimalini ya $1$'den toplam kazanma ihtimallerini çıkararak ya da doğrudan beyaz top bölü toplam top şeklinde hesaplayabiliriz. Bu da bize;

    $$1-\left[ O(6) + O(5)+ O(4) + O(3) \right]= {13\,723\,192 \over 13\,983\,816} = 0.981$$

    olasılığını verecektir. Yani tek bir Sayısal Loto kolonu oynarsanız kazanamama ihtimaliniz $\% 98$'in biraz üstündedir. İki kolon oynarsanız kazanamama ihtimaliniz

    $$1-\left[ P(6,2) + P(5,2)+ P(4,2) + P(3,2) \right]$$

    olacaktır ki bu $\% 96$'ının biraz üzerindedir ve çok da kabul edilebilir bir sonuç değildir.

  • Tabii şu da var ki sayısal loto oynayanlar en az beş bilerek kazanamazlar ise çok da kayda değer birşey kazanmış sayılmazlar. İşin kötü yani beş ve altı bilememe ihtimaliniz doğal olarak daha yüksektir;

    $$1-\left[ O(6) + O(5)\right]= {13\,983\,557 \over 13\,983\,816} = 0.9999814$$

    Bu da tek bir kolonla kazanamama (en az beş bilerek) ihtimalinizin $\%99.998$ olduğunu söyler ki kaybetme konusunda mutlak kesinliğe çok ama çok yaklaştınız demektir bu. On kolon oynamanın da kazanmama şansınızı çok düşürmediğini hesaplamayı size bırakalım.

  • Şimdi siz okurlarımıza elli yıl boyunca her hafta Sayısal Loto (dilerseniz tam kupon oynadığınızı varsalım) oynayıp da hiçbir şey kazanamama şansınızın ne olduğunu ve bunun size, Sayısal Loto'ya hiç zam gelmeyecekmiş gibi düşünerek, ne kadar bir maliyet çıkaracağını soralım. Cevabınızı aşağıda yorumlarda bizimle paylaşmayı unutmayın lütfen.

Şekil 1-) 17.02.2018 tarihli sayısal loto sonuçları.

Bu tür oyunları oynarken şu resmi kafanızda canlandırmanızda fayda var. Eğer bir tane kazanan var ise milyonlarca da kaybeden vardır ve bu oyunu oynayan bizlerin bu kaybedenler grubunun bir üyesi olma ihtimalimiz yukarıdaki hesaplarda da görüldüğü üzere çok ama çok yüksektir. Şimdi dilerseniz burada bahsettiğimiz şeyleri örneklendirelim. Bunun için de 17.02.2018 tarihli Sayısal Loto çekiliş sonuçlarını kullanalım (Şekil 1). Eğer oynanan hiçbir kolon bir diğerinin aynısı değil ise (ortalama) her oynanan $57$ kolondan biri üç bilecektir (Yukarıda üç tutturma olasılığının $1 / 57$ olduğunu hesaplamıştık hatırlarsanız). Yani yaklaşık olarak üç bilen sayısı çarpı $57$ yani $176\,909 \times 57 \approx 10\,\text{milyon}$ kişi 17.02.2018 çekilişli sayısal loto oynamış. Dört bilen sayısından da kabaca oynayan hesabı yapabilirdik. Bu da bize $10\,067 \times 1\,032 \approx 10\,\text{milyon}$ değerini verir. Tabii burada şunu da belirtmemiz lazım, bilen sayısı ve olasılık azaldıkça hesabımız gerçek değerden uzaklaşacaktır. $10\,\text{milyon}$ kişiden yalnızca $200\,\text{bin}$'e yakın oynanan kolon bir şeyler kazanabilmiş, geriye kalan $9\,\text{milyon}\,800\,\text{bin}$ kolon, yani $\%98$'i yukarıda da hesapladığımız gibi, hiçbir şey kazanamamış. Sonuç olarak istatistik bilimi bizlere bu tür şans oyunlarından uzak durmamızı söylüyor.

Sizce, Milli Piyango idaresi web sayfalarında çekiliş sonuçlarını açıkladığında kazanamayan/kaybeden sayısını da açıklasa, oynayan sayısında bir azalma olur muydu? Bizce çok az azalsa da fazla bir değişiklik olmazdı. Umut fakirin ekmeğidir derler ve başka hiçbir yatırım/yöntem çok düşük bir meblağa karşılık bu kadar yüksek kazançlar elde etme ihtimali (çok çok çok küçük olsa dahi) vermez ve bir çok insan bu olasılıkların farkında olmalarına rağmen sırf bu sebepten dolayı bu oyunları oynamaya devam ederler. Hem oynayanların çok çok çok büyük çoğunluğu kazanamasalar bile, Milli Piyango İdaresinin bir devlet kurumu olmasını, elde edilen gelirin bir kısmının okullar yapımında kullanılmasını [4] ve bir çok kişiye de iş imkanı sağlandığını düşünerek gönüllü vergi veriyorum/bağış yapıyorum diyerek kendilerini iyi hissedebilirler.

Eğer bu oyunları bu ihtimalleri bilmenize rağmen oynamaya devam ediyorsanız, size söyleyebileceğimiz tek bir şey var;

BOL ŞANS !!!

Çünkü ihtiyacınız olacak .

[1] Kazanma olasılığını bu şekilde yazabiliyoruz çünkü bütün kombinasyonarın Milli Piyango tarafından çekilme olasılığı aynı. Yani hiçbiri özel değil. Tabii bu da şu demek: Sizin rastgele karar verdiğiniz altı sayının kazanma ihtimali ile (1, 2, 3, 4, 5 ve 6) sayılarının veya ardışık herhangi bir altı sayının çekilme ihtimali aynı. Ancak sayısal loto oynayan kimse bu ardışık sayılardan bir kolon oynamaz çünkü bunun olasılığının çok düşük olduğunu düşünürler. Sizce onlar kendi seçtikleri sayı kombinasyonunun kazanma ihtimalini mi yoksa (1, 2, 3, 4, 5 ve 6) sayılarının kazanamama ihtimalini mi abartıyolar? Oysa eğer (1, 2, 3, 4, 5 ve 6) kolonu çıkma ihtimali çok düşük diye oynanmıyorsa, hiçbir kombinasyon oynanmamalı çünkü dediğimiz gibi matematiksel olarak ikisinin de kazanma/kaybetme ihtimalleri aynı.

[2] Eğer elinizde içerisinde yalnızca $M$ tanesi sarı olan toplam $N$ top var ise, $n$ çekilişte sarı top tutturma olasılığınızı, bu çekilişlerin hiç birinde sarı tutturamama olasığını birden çıkararak elde edebilirsiniz. Yani, $$ P(\text{sarı}, n) = 1 - \left(1-{M \over N}\right) \times \left(1-{{M} \over {N-1}}\right) \times \cdots \times \left(1-{{M} \over {N-n}}\right) $$ olacaktır. Tabi eğer çekiliş sayısı top sayılarına kıyasla çok küçük ise ($n \ll M$ ve $n \ll N$), bu ifade $$P(\text{sarı}, n) \cong {1 - \left(1-{ M \over N} \right)^n} $$

ifadesine yakınsanabilir.

[3] Tabii burada bir iş kurarken veya kariyer planı yaparken sizlere yüksekleri hedeflemeyin gibi bir mesaj vermeye çalışmıyoruz. Söylemek istediğimiz başarıyı hedeflerken risklerin de farkında olarak planlama yapmanız ve sizinle aynı hedeflerle yola çıkıp başarısız olanların hatalarından ders çıkarmanızdır.

[4] Milli Piyango Okulları - http://www.millipiyango.gov.tr/node/76