İSTEMBİL

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

Fizik I - Bölüm 4: İki ve Üç Boyutta Kinematik

İÇİNDEKİLER

REKLAM

4.1 Üç Boyutta Kinematik Nicelikler

Bir cisim üç boyutta hareket ettiğinde, konumunu bir koordinat sistemine göre $\vec{r} = x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}$ ile ifade ederiz. Cismin hareketi ile beraber konum vektörü değiştikçe $x , y$ ve $z$ koordinatları da değişecektir. Şekil 4.1'de iki boyutta kesikli çizgi ile gösterilen bir yol üzerinde hareket eden bir cismin $t_o$ ve $t$ anlarında konum vektörleri gösterilmiştir.

4.1.1 Yerdeğiştirme Vektörü

konum-vektörü
Şekil 4.1 Kesikli çizgili yol üzerinde hareket eden bir cismin seçilen koordinat sisteminde başlangıç anında ($t_o$) ve daha sonra bir ($t$) anında konum vektörleri.

Yerdeğiştirme vektörü konumdaki değişimdir. Şekil 4.1'de hareketi gösterilen cismin $t_o$ anından $t$ anına kadar yaptığı yerdeğiştirme vektörü, $\Delta{\vec{r}}$ kırmızı ok ile gösterilmiştir. Burada

$$ \begin{align} \Delta{\vec{r}} & =\vec{r} - \vec{r}_o \\[1.3ex] & = (x-x_o)\hat{\imath} + (y-y_o)\hat{\jmath} + (z-z_o)\hat{k} \\[1.3ex] & = \Delta{x}\hat{\imath} + \Delta{y} \hat{\jmath} + \Delta{z} \hat{k} \\ \end{align} \tag{4.1} $$

4.1.2 Hız Vektörü

Ortalama Hız

Ortalama hız, geçen bölümde tanımını yaptığımız gibi, yapılan yereğiştirmenin geçen süreye bölümü olarak tanımlanır. Ancak şimdi, üç boyutta yerdeğiştirme ve konum niceliklerinin vektör doğasını biraz daha belirgin bir şekilde göreceğiz.

$$ \begin{align} \vec{\bar{v}} & = {\Delta{\vec{r}} \over \Delta{t}} \\[1.3ex] & = {\Delta{x} \over \Delta{t}} \hat{\imath} + {\Delta{y} \over \Delta{t}} \hat{\jmath} + {\Delta{z} \over \Delta{t}} \hat{k} \\[1.3ex] & = \bar{v}_x \,\hat{\imath} + \bar{v}_y \,\hat{\jmath} + \bar{v}_z \,\hat{k} \\ \end{align} \hspace2em \tag{4.2} $$

Anlık Hız

Yine anlık hızı hesaplamak için ortalama hız için kullandığımız tanımla başlayacağız ve hesapladığımız zaman aralığını sıfıra yaklaştıracağız, yani $\lim \limits_{\Delta{t} \to 0}$. Bu durumda anlık hız;

$$ \begin{align} \vec{v} & = \lim \limits_{\Delta{t} \to 0} {\Delta{\vec{r}} \over \Delta{t}} = {d\,\vec{r} \over d{t}}\\[1.3ex] & = {d\,{x} \over d{t}} \hat{\imath} + {d\,{y} \over d{t}} \hat{\jmath} + {d\,z \over d{t}} \hat{k} \\[1.3ex] & = v_x \,\hat{\imath} + v_y \,\hat{\jmath} + v_z \,\hat{k} \\ \end{align} \hspace2em \tag{4.3} $$

4.1.3. İvme Vektörü

İvme vektörünü de yine üç boyut için tekrar tanımlayacağız.

Ortalama İvme

Ortalama ivme, hızdaki değişimin geçen süreye bölümü olarak tanımlanır.

$$ \begin{align} \vec{\bar{a}} & = {\Delta{\vec{v}} \over \Delta{t}} \\[1.3ex] & = {\Delta{v_x} \over \Delta{t}} \hat{\imath} + {\Delta{v_y} \over \Delta{t}} \hat{\jmath} + {\Delta{v_z} \over \Delta{t}} \hat{k} \\[1.3ex] & = \bar{a}_x \,\hat{\imath} + \bar{a}_y \,\hat{\jmath} + \bar{a}_z \,\hat{k} \\ \end{align} \hspace2em \tag{4.4} $$

Anlık İvme

Yine geçen süreyi sıfıra götürürsek, anlık ivme;

$$ \begin{align} \vec{a} & = \lim \limits_{\Delta{t} \to 0} {\Delta{\vec{v}} \over \Delta{t}} = {d\,\vec{v} \over d{t}}\\[1.3ex] & = {d\,{v_x} \over d{t}} \hat{\imath} + {d\,{v_y} \over d{t}} \hat{\jmath} + {d\,{v_z} \over d{t}} \hat{k} \\[1.3ex] & = a_x \,\hat{\imath} + a_y \,\hat{\jmath} + a_z \,\hat{k} \\ \end{align} \hspace2em \tag{4.5} $$

Eğer bir parçacığın konumu zamanın fonksiyonu olarak biliniyorsa, denklemler 4.3 ve 4.5 kullanılarak herhangi bir anda parçacığın hız ve konumu bulunabilir. Ancak eğer bize hız yada ivme zamanın fonksiyonu olarak verildi ise ve bizden konum veya hızı herhangi bir anda hesaplamamız gerekiyorsa, yine aynı tanımlar kullanılarak istenilen nicelikleri bulabiliriz. Ancak bu kez, türev yerine integral almamız gerekecektir.

REKLAM
Sonraki Sayfa 4.2 Üç Boyutta Sabit İvmeli Hareket