İSTEMBİL

9.2 Potansiyel Enerji

Bir önceki kısımda korunumlu kuvvetlerden bahsetmiştk. Şimdi bir sistem düşünün, sistemin parçaları birbirleri ile korunumlu bir kuvvet vasıtası ile etkileşsin. Bu sistem,örneğin, bir kütle ile Dünya sistemi olabilir, veya bir yay ve ona bağlı bir kütle olabilir. Kütle-Dünya sisteminde etkileşim kuvveti yerçekimi kuvveti, yay-kütle sisteminde ise yay kuvvetidir. Eğer yerde duran bir kütleyi belli bir yüksekliğe kaldırır isek veya bir yay kütle sistemindeki yayı gerer veya sıkıştırır isek bu sistemler üzerine iş yapmış oluruz. Kütleleri bıraktığımız zaman hareket etmeye başlayacak ve başka cisimler üzerine iş yapabilme yeteneğine sahip olacakardır. İş yaparak bu sistemlere yaptığımız iş kadar potansiyel enerji kazandırırız. Şimdi dilerseniz, Dünya-kütle sistemi için yerçekimi potansiyel enerjisini ve yay-kütle sistemi için elastik (yay) potansiyel enerjiyi ayrı ayrı inceleyelim.

9.2.1 Yerçekimi Potansiyel Enerjisi

Şekil 9.2'de gösterilen durumu ele alalım. Sistemimiz Dünya ve $m$ kütleli bloktan oluşsun. Kütleyi oldukça yavaş bir şekilde $mg$ büyüklüğündeki $\vec{F}_{dış}$ kuvveti ile $\vec{d}$ kadar yerdeğiştirelim. Bu esnada ne kadar iş yapmış oluruz?

$$ \begin{align} W_{dış} &= \vec{F}_{dış} \cdot \vec{d}=F_{dış} \, d \,\cos{0}\\[1.3ex] &=mg \, (y-0)\,\cos{0} = mgy\\ \end{align} $$

Bu esnada yerçekimi kuvvetinin yaptığı iş ise;

$$ \begin{align} W_{G} &= \vec{F}_G \cdot \vec{d} = F_G \,d \,\cos{180^{\circ}}\\[1.3ex] &=mg \, (y-0)\,\cos{180^{\circ}} = -mgy\\ \end{align} $$

olacaktır. Sistemimiz Dünya ve kütle arasındaki mesafe değişirken dışarıdan uygulanan kuvvetin yaptığı iş kadar potansiyel enerji kazanacaktır. Kazanılan potansiyel enerji;

$$ \Delta{U}_G = U_G(y) - U_G(0) = W_{dış} = - W_G = m\, g\, y $$

burada $\Delta{U}_G$ kazanılan yerçekimi potansiyel enerjisidir. $y=0$ 'ı kendimize referans seçebilir ve yerçekimi potansiyel enerjisini bu referansa göre hesaplayabiliriz, yani $U_G(0)=0$ diyebiliriz. Bu durumda yerçekimi potansiyel enerjisi;

$$ U_G(y) = m\, g\, y \hspace2em \tag{9.1}$$

olacaktır.

9.2.2 Elastik (Yay) Potansiyel Enerji

Yukarıda yaptığımız argümana benzer bir argüman ile yayda depolanan Elastik Potansiyel Enerjisini de tanımlayabiliriz. Bunun için Şekil 9.3'te resmedilen durumu düşünelim. Yay henüz gerilmemiş veya sıkıştırılmamış iken yani doğal uzunluğunda iken, ona bağlı $m$ kütlesinin $F_{dış}=kx$ ile yavaşça çekilerek $x$ kadar gerildiğini varsayalım. Bu sistemi buradan durgun halde iken bıraktığımız zaman kütlenin hızlanacağını ve kinetik enerji kazanacağını biliyoruz. Yani sisteme yine bir miktar potansiyel enerji kazandırdık. Kazandırdığım potansiyel enerji yine sisteme yaptığımız iş kadar olacaktır;

$$ \begin{align} \Delta{U}_{yay} &= U_{yay}(x) - U_{yay}(0) = W_{dış} = \\[1.3ex] U_{yay}(x) - U_{yay}(x) &=\int_0^x{k\,x\,dx} = {1\over 2}k\,x^2\\[1.3ex] \end{align} $$

Yine $x=0$ 'ı yine referans noktası olarak seçelim ve $U_{yay}(0) = 0$ olsun. Bu durumda Elastic Potansiyel Enerji

$$U_{yay}(x) = {1\over 2} \, k\,x^2 \hspace2em \tag{9.2} $$

ile verilir.

9.2.3 Korunumlu Kuvvet ve Potansiyel Enerji

Potansiyel enerjideki değişim ve bu potansiyel enerji tipinin arasındaki korunumlu kuvvetin yaptığı iş arasındaki ilişki;

$$\Delta{U} = -W_{kor} \hspace2em \tag{9.3}$$

dir. Burada $W_{kor}$ korunumlu kuvvetin yaptığı iştir. Yani korunumlu kuvveti biliyor isek potansiyel enerjiyi (değişimi) hesaplayabiliriz. Peki potansiyel enerjiyi biliyor isek, korunumlu kuvveti bulabilir miyiz? Bunun için sonsuz küçüklükteki bir yerdeğiştirme ($d\vec{\ell}$) için potansiyel enerjideki değişime, $dU$, bakalım:

$$ \begin{align} dU &= -\vec{F} \cdot d\vec{\ell}\\[1.3ex] dU &= -F_x \,dx - F_y \,dy - F_z \,dz \end{align}$$

Buradan $\vec{F}$;

$$\vec{F} = -{\partial{U} \over \partial{x}}\hat{\imath}-{\partial{U} \over \partial{y}}\hat{\jmath}-{\partial{U} \over \partial{z}}\hat{k} \hspace2em \tag{9.4}$$

ile hesaplanabilir. Burada $\vec{F}$ kuvvetinin $x, \, y$ ve $z$ bileşenleri $U(x,y,z)$ potansiyel enerjisinin kısmi türevlerinin negatifine eşittir.