İSTEMBİL

0.2 Vektörlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi: Grafiksel Metotlar

Skalerler ile ilgili hesaplamalar yaparken basit toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemleri kullanırken, vektörel nicelikler içeren hesaplamalarda, artık yönde hesaplamalara katılacağı için özel toplama, çıkarma, çarpma gibi işlemler tanımlanmalıdır. Bu işlemler bütününe Vektör Cebiri de diyebiliriz.

0.2.1 Vektörlerin Toplanması: Grafiksel Yöntemler

Bir önceki kısımda da söylediğimiz gibi vektörleri bir ok ile gösterebiliriz. Örneğin $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörleri Şekil 0.2 'de gösterildiği gibi iki ok ile göstermiş olalım. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli faktör, her iki vektör için de aynı skalalandırılmanın kullanılması gerektiğidir. Örneğin, birinci vektörün büyüklüğü 100 birim ise ve 1cm'lik bir ok ile temsil edildiyse, büyüklüğü 150 birim olan bir vektör 1.5 cm uzunluğunda bir ok ile gösterilmelidir. Bu gösterimi milimetrik bir kağıtta yaptığımızı varsayalım. $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerini temsil eden okların yön ve büyüklüklerini değiştirmediğimiz müddetçe bir yerden başka bir yere taşıyabiliriz.

Vektörleri grafiksel yöntemler ile toplayabiliriz. Toplama işlemi için uc uca ekleme yöntemi ve paralel kenar yöntemi Şekil 0.3 ve Şekil 0.4'te özetlenmiştir. Vektörlerin hangi skala ile ölçeklendirilerek çizildiğini bildiğimiz için, $\vec{C}$'nin büyüklüğünü kırmızı renkle çizilen okun uzunluğunu ölçerek hesaplayabiliriz. Toplam vektörünün yönü ise kırmızı okun gösterdiği yön olacaktır.

Uc uca ekleme yönteminde ikinci vektörü kuyruğu ilk vektörün ucuna gelecek şekilde taşıdıktan sonra, ilk vektörün kuyruğundan ikinci vektörün ucuna bir ok çizeriz. Çizilen bu ok bize toplam vektörünü verecektir.

Paralel kenar yönteminde ise iki vektörün kuyruğu bir araya gelecek şekilde bir paralel kenar oluşturuyoruz. Kuyruklardan başlayarak (köşegen)çizdiğimiz ok bize toplam vektörünü verecektir.

Vektörlerde toplama işleminin özellikleri her iki grafiksel yöntemi kullanarak gösterilebilir. Bu özellikler aşağıda listelenmiştir.

2.2.2 Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpımı ve Vektörlerin Çıkarılması

Pekala... Toplama işlemini grafiksel yöntemler ile yapmayı artık biliyoruz. Ama bir vektörü başka bir vektörden nasıl çıkarabiliriz?

Bu soruya şu şekilde yaklaşabiliriz.

$$ \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$$

$\vec{A}$ 'dan $\vec{B}$ 'yi çıkarmak yerine $\vec{A}$ ile $-\vec{B}$ vektörünü toplayarak bunu yapabiliriz. Şimdi bahsetmemiz gereken bir vektörü bir skaler ile çarptığımızda, özellikle -1 ile çarptığımızda ne olduğudur..

• Bir vektör pozitif bir skaler ile çarpılırsa, vektörün yönü değişmez. Yalnızca büyüklüğü skalerin büyüklüğü oranında artar/azalır. Örneğin bir vektörü 2 ile çarparsak, büyüklüğü iki katına çıkarken, 0.5 ile çarparsak büyüklüğü yarıya iner.
• Bir vektör negatif bir skaler ile çarpılırsa, vektörün yönü orijinal yönünün tam tersi olur. Büyüklüğü ise skalerin büyüklüğü oranında artar azalır. Örnegin bir vektörü -2 ile çarparsak, büyüklüğü iki katı artar, yönü ise orijinal yönünün zıttı olur. Yani bir vektörü -1 ile çarparsak, büyüklüğünü değiştirmez, yönünü ters çeviririz

Şekil 0.5'te A vektörünün -2, 2, 0.5 ile çarpmı, Şekil 0.6'da ise çıkarma işlemi (uc uca ekleme yöntemi kullanılarak) göstrilmiştir.