İSTEMBİL

2.3 Kapalı Bir Yüzeyde Elektrik Akısı

Denk. 2.2 ile herhangi bir yüzeyden geçen elektrik akısı rahatlıkla hesaplanabilir. Ancak bu bölümde kapalı bir yüzeyden geçen elektrik akısından bahsedeceğiz. Kapalı yüzeyden kasıt içerisinde hiç bir açıklık olmadan bir hacim hapseden bir yüzey. Örneğin yumurta kabuğu, açılmadan önce kola kutusu kapalı yüzeylerdir. Ancak açıldıktan sonra kola kutusu kapalı olma özelliğini kaybeder. Artık kapalı yüzey ile neden bahsettiğimizi bildiğimize göre, şimdi elektrik alan olan uzayın bir bölgesinde bu kapalı yüzeyden geçen elektrik akısından bahsedebiliriz.

Tabi kapalı yüzeylerin genelde düz ve elektrik alanın da düzgün olmamasından dolayı, elektrik akı için integral hesabını kullanacağız. Yani yüzeyi küçük parçalara bölmemiz ve herbir parça için $d\vec{A}$ vektörünü tanımlamamız gerekiyor. Burada asıl üzerinde durmak istediğim $d\vec{A}$ vektörünün yönü.

$d\vec{A}$ vektörü herzaman yüzeye dik, yüzeyden dışarı yöne doğru tanımlanır. Şimdi Şekil 2.3'te gösterilen kapalı yüzeyi düşünelim. Elektrik alan çizgilerinin bir kısmı yüzeyden içeri girerken, bir kısmı yüzeyden dışarı çıkıyor. Hatırlayacağınız üzere elektrik akısının yüzeyden geçen elektrik alan çizgisi sayısı ile doğru orantılı olduğunu söylemiştik. Şekil 2.3'te gösterilen basit örnekte dört elektrik alan çizgisi içeri girerken dört çizgi çıkıyor, iki çizgi de yüzeye teğet geçiyor. Bu durumda bu yüzeyden geçen NET(toplam) elektrik akısı ne olacaktır? Bu sorunun cevabını sıfır dediğinizi duyar gibiyim. Şimdi aynı yüzeye Şekil 2.4'te daha detaylı bakarak nedenini söyleyelim.

Şekil 2.4'te noktalı çizgiler ile gösterilen üç farklı durum (a), (b) ve (c) bulutlarında inceleniyor. Şimdi sırası ile hepsine bakalım.

(a) Bu bulutta elektrik alan çizgisinin yüzeyden içeri girdiği küçük $dA$ yüzeyi inceleniyor. Elektrik alan çizgilerinin kapalı yüzeyden içeri girdiği bütün yüzeyler için $d\vec{A}$ vektörü yüzeyden dışarı doğru, elektrik alan vektörü $\vec{E}$ de yüzeyden içeri doğrudur. Yani ikisi arasındaki açı her zaman $90^{\circ}$'den büyüktür. Bu durumda bu küçük yüzeylerden geçen akı

$$d\Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{A} = E\, \cos{\theta}\,dA \lt 0 $$

negatif olacaktır (açı $\theta \gt 90^{\circ}$ olduğunda $\cos{\theta}$ negatif olacaktır).

(b)Bu bulutta ise elektrik alan çizgilerinin yüzeyden dışarı çıktığı bir küçük yüzey inceleniyor. Tahmin edeceğiniz üzere bu durumda da elektrik alan vektörü $\vec{E}$ ile $d\vec{A}$ arasındakı açı her zaman $90^{\circ}$'den küçük olacaktır. Yani bu yüzeylerden geçen akı

$$d\Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{A} = E\, \cos{\theta}\,dA \gt 0 $$

pozitif olacaktır (açı $\theta \lt 90^{\circ}$ olduğunda $\cos{\theta}$ pozitif olacaktır).

(c) Son olası durum ise bu bulutta gösterilmiştir. Yani elektrik alan çizgisinin yüzeye teğet olduğu durum. Yani $\vec{E}$ ile $d\vec{A}$ arasındaki açı $90^{\circ}$ olacaktır. Bu yüzeylerde bir elektrik akısı olmayacaktır. Yani

$$d\Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{A} = E\, \cos{90^{\circ}}\,dA = 0 $$

Özetlemek gerekirse kapalı yüzeyden içeri giren elektrik alan çizgileri için elektrik akısı negatif, yüzeyden dışarı çıkan elektrik alan çizgileri için pozitif olacaktır. Bütün $dA$'lar üzerindeki akıyı toplayarak toplam elektrik akısını hesaplayabiliriz;

$$\Phi_E = \oint{\vec{E} \cdot d \vec{A}} \hspace2em \\ \tag{2.3}$$

Burada $\oint$ üzerindeki halka, integralin kapalı yüzey üzerinde alındığını göstermektedir.

Şimdi gelelim bu integralin yani kapalı yüzeyden geçen akının alabileceği değerlere. Bu konuya başlarken sıfır olacağını söylemiştik. Çünki ne kadar elektrik alan çizgisi içeri giriyorsa o kadar çizgi de dışarı çıkıyordu. Yani net akı sıfırdı bu örnek için. Sıfır dışında alabileceği değerlerin ne olduğu/olabileceği konusunu bir sonraki 2.4 Gauss Yasası kısmında ele alacağız.