Fizik II - Bölüm 6: Doğru Akım (DA) Devreleri
Başlangıçta yüksüz $C$ sığasına sahip bir sığacın Şekil 6.8'de gösterilen devreye bağlandığını ve anahtarın açık konumda olduğunu varsayalım. $t=0$ anında anahtarı kapattığımız andan itibaren ne olduğunu anlamaya çalışalım:
Gördüğünüz üzere devreden geçen $I$ akımı, sığaçta depolanan $Q$ yükü ve sığacın plakaları arasındaki $V_c$ voltajı zamanla değişen niceliklerdir. Şimdi, dilerseniz bu niceliklerin zamanla nasıl değiştiğini bulalım. Bunun için anahtar kapatıldıktan sığaç tamamen dolana kadar herhangi bir $t$ anında, Kirchhoff'un halka kuralını pilin negatif terminalinden başlayıp saat yönünde giderek uygulayalım ;
$$ \mathcal{E} - V_c - IR = 0 $$
denklemini elde ederiz. Sığa denklemi ($Q = C\,V_c$) ve akımın tanımı ($I = dQ / dt$) ile bu denklem 1
$$ \mathcal{E} - {Q \over C} - {dQ \over dt}R = 0 $$
denklemine dönüşecektir. Bu basit difarensiyel denklem kolayca $Q$ için çözülebilir2:
$$ Q=\mathcal{E} \,C \left(1-e^{-t/RC}\right) = Q_{max} \left(1-e^{-t/\tau}\right)\hspace2em \tag{6.4}$$
Birimi saniye olan $\tau = RC$ değeri RC devreleri için çok önemlidir zaman sabiti olarak isimlendirilir.
Bu nicelik RC devrelerinde sığacın ne kadar hızlı ya da yavaş dolacağını belirler. Şekil 6.9'da sığaç üzerindeki yükün zamanla değişimi gösterilmiştir. Anahtar kapatıldıktan bir zaman sabiti ($t=\tau$) sonra sığaç maksimum yükünün %63'üne ulaşır. İki zaman sabiti sonra ise %86'sına, üç zaman sabiti sonrasında ise %95'ine ulaşır.
Sığaç üzerindeki voltaj $V_c$ ise
$$ V_c = {Q \over C} = \mathcal{E} \left(1-e^{-t/RC}\right) \hspace2em \tag{6.5}$$
denklemi ile elde edilir. Sığaç üzerindeki voltajın zamanla değişim grafiği yükün zamanla değişim grafiği ile aynı formda olacaktır. Son olarak devreden geçen $I$ akımı da zamanın fonksiyonu olarak
$$ I = {dQ \over dt} = {\mathcal{E}\over R} \, e^{-t/RC} \hspace2em \tag{6.6}$$
ile verilir.
Şekil 6.10'da akımın zamanın fonksiyonu olarak grafiği çizilmiştir. İlk başta maksimum olan akım bir zaman sabiti sonra %63 azalacaktır.
Denk. 6.3, 6.4 ve 6.5 sığacın yüklendiği RC devrelerini betimlerler ve herhangi bir $t$ değerinde akım, yük ve voltaj hesabı için kullanılabilir. Şekiller 6.9 ve 6.10'da ki gibi yük ve potansiyel zamanla artar iken akım zamanla azalacaktır.
Peki ilk başta bir pil yardımıyla doldurulmuş $Q_o$ yüküne ve $V_o$ potansiyel farkına sahip bir sığaç Şekil 6.11'de gösterilen devreye bağlanır ve anahtar kapatılırsa sığaç üzerindeki yük, potansiyel farkı ve devreden geçen akım zamanla nasıl değişir?
Anahtarın kapatıldığı başlangıç anından itibaren $I$ akımı, sığaç üzerindeki $V_c$ voltajı ve $Q$ yükü azalacaktır. Bu nicelikleri zamanın fonksiyonu olarak elde etmek için yine sığaç tamamen boşalmadan önce herhangi bir $t$ anı için Kirchhoff'un halka kuralını yine saat yönünde sığacın negatif plakasından başlayarak yazalım;
$$V_c - I\,R = 0$$
Sığacın yüklendiği RC devresinde yaptığımız gibi yine sığaç denklemini ve akımın tanımını kullanırsak
$$ {Q \over C} - \left(-{dQ \over dt}\right)\,R = 0 \implies {dQ \over Q} = -{dt \over RC} $$
denklemini elde ederiz. Dikkatli arkadaşların gözünden kaçmamıştır sanırım. $I$ akımını $-dQ/dt$ şeklinde yazdık. Bunu yapmamızın sebebini kışaca şöyle ifade edebiliriz. Sığacın plakalarındaki yük zaman geçtikçe azalmaktadır yani değişim hızı ($dQ/dt$)negatiftir. Ancak akım pozitiftir. O yüzden akımı pozitif yapmak için $I=-dQ/dt$ yazdık. Böylelikle yine çözümü çok kolay basit bir difarensiyel denklem elde ettik. Bu denklemi de $Q$ için çözer isek3;
$$ Q = Q_o\, e^{-t/RC} = V_o\,C \, e^{-t/\tau} \hspace2em \tag{6.7}$$
denklemini elde ederiz. Burada yine $\tau = RC$ devrenin zaman sabitidir ve sığacın ne kadar hızlı boşaltılabileceğini gösterir. Şekil 6.12 boşalan sığaç üzerindeki yükü zamanın fonsiyonu olarak gösteriyor. Bir zaman sabiti sonra yükünün %63'ünü, iki zaman sabiti sonrasında yükünün %86'sını kaybedecektir. Yeterince uzun süre beklendiğinde ise ($t=\infty$) üzerinde hiç yük kalmayacaktır.
Sığac üzerindeki potansiyel farkı
$$ V_c = {Q \over C} = V_o\, e^{-t/RC} \hspace2em \tag{6.8}$$
ile verilir. Son olarak devreden geçen akımı da
$$ I = -{dQ \over dt} = {V_o \over R} e^{-t/RC} = I_o \,e^{-t/RC} \hspace2em \tag{6.9}$$
ile hesaplanabilir.
Bu üç denklem sığacın boşaltıldığı RC devrelerinin analizi için kullanılabilir. Sığaç yüklenirken yükü ve üzerindeki potansiyel artar iken akım azalıyordu. Sığaç boşalırken ise her üçü de Şekil 6.12'de gösterildiği gibi zamanla azalacaktır.
[1] Devreden herhangi bir anda geçen akım, sığacın plakalarında yük toplanma hızına eşit olacaktır.
[2] Difarensiyel denklem $${dQ \over \mathcal{E}\,C-Q} = {dt \over RC}$$ şekline sokulduktan sonra her iki tarafında integrali alınarak çözülebilir. İntegrallerin limitleri ise $t=0$'dan herhangi bir $t$ anına, ve bu anlarda sığaç üzerindeki yüklere karşılık gelen $Q=0$ 'dan $Q$'ya kadar olmalıdır. Denklemin sol tarafındaki integral değişken değiştirilerek ($u = \mathcal{E} \,C-Q$) ile kolayca çözülebilir.
[3] Bu difarensiyel denklem de sağ ve sol tarafın integrali alınarak çözülebilir. Limitler $t=0$ 'dan $t$ anına, ve bu anlarda sığaç üzerindeki yüklere karşılık gelen $Q=Q_o$ 'dan $Q$ 'ya kadar olmalıdır.