İSTEMBİL Matematik I - Bölüm 1: Limit ve Süreklilik (Limit and Continuity)

Giriş

Limit, Matematik için temel bir kavramdır. Limitsiz matematik Juliyet'siz Romeo gibidir. Limit, bizim bir noktaya yaklaştığımızda veya sonsuza gittiğimizde bunun ne anlama geldiğini kavramamıza yardımcı olur. Nokta ve sonsuz kavramları aslında 'Limit olmadan' kolay tanımlanabilen net kavramlar değildir. Türev, integral gibi çok temel matematik kavramlarının temelinde de Limit vardır. Limit hesaplamaları günlük hayatımızın hemen hemen her noktasında yer alır: sürekli bileşik faiz hesaplamaları, anket veya anketlere uygulanan hata payları, ilaç yarı ömürlerinin hesaplanması ve buna bağlı doz ayarı gibi pek çok örnek sıralanabilir.

Limit kavramını anlamak için şöyle bir örnek verebiliriz: 10m uzaklıkta bulunan kapısı açık bir eve gidip içeride birilerinin olup olmadığını kontrol etmek istiyorsunuz, ve her seferinde bulunduğunuz noktadan eve olan mesafenin yarısı kadar yol almak zorunda olduğunuzu düşünün. Yani, ilk molanızda 5 metre uzaktasınız (bu noktada her hangi birşey göremiyorsunuz), sonraki molanızda 2.5 metre (her hangi birşey göremiyorsunuz), bir sonrakinde 1.25 metre (bu noktadan da her hangi birşey göremediğinizi düşünün)... Siz bu şekilde yolunaza devam ederseniz hiç bir zaman o evin kapısından içeriye giremezsiniz. Ancak çok ama çok yaklaşabilirsiniz. Evin kapısı sizin limitinizdir artık, ve o noktadan daha öteye gidemezsiniz (çünkü uymanız gerek bir kural veya başka bir deyişle takip etmeniz gereken bir fonksiyon var!). Ama en azından kapıdan içeriye baktığınızda evde birilerinin olup olmadığını söyleyebilirsiniz. İşte limit sizi evin kapısına mümkün olduğu kadar yaklaştırarak evin içinde birilerinin olup olmadığını görmenize yardımcı olur. Limit , evin içine girmeniz ile ilgilenmiyor, çok yakınında iken olayları gözlemlemeniz üzerine kurulu. Her zaman şartlar evin içinde olmanıza uygun olmayabilir (olabilirdi de), ama bu bir sorun oluşturmaz! Bunu sonraki bölümlerde inceleyeceğiz.

Evin içinde üç kişi olduğunu düşünürsek, bu durumu 2. şekildeki gibi ifade edebiliriz; siz evin kapısına yaklaştığınızda gözlerinizin gördüğü 3 kişidir. Yani amacımıza ulaşmış olduk artık, ve bu problemin cevabı kısaca 3'tür. Şunu belirtmekte fayda var; evin içine girebilseydiniz de göreceğiniz kişi sayısı 3 olacaktı, ama şartlar/kurallar bizi evin içine girebilme konusunda sınırlandırıyor.

Limit tanımını bilmiyor olsaydık bu şartlar altında evin içine hiçbir zaman giremeyeceğimizen dolayı soruya bir cevap veremeyecektik. Çünkü evin içinde tanımlı değiliz, yani fonksiyon evin içine girmemize izin vermiyor. Ama limit bizi çok yakınına götürüyor, bu da bizim sonuca ulaşmamız için yeterli.

1.1 Limit

Tanım: Limitin en çok bilinen ve kullanılan tanımı şöyledir: $f(x)$ fonksiyonunun limiti $x$ $a$'ya yaklaştıkça $L$'dir, ve bunu matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade ederiz ($x\rightarrow a$ , $f(x) \rightarrow L$).

$$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a}}f(x) ={\color{green}L} \hspace2em \tag{1.1}$$

Aslında bu ifade, limitin kesin ve en doğru tanımı değildir. Fakat çalışan bir tanımdır ; bize limitin ne olduğunu ve limitin fonksiyonlar hakkında neler söyleyebileceği konusunda fikir edinmemizi sağlar. Bizde limit konusunu işlerken bu tanım üzerinden yola çıkacağız. Bu konuya öncelikle sezgisel olarak yaklaşacağız, ve bu amaç doğrultusunda ilk etapta limitin nasıl hesaplandığına bakmayacağız.

$\color{red}{\underline{{Örnek. 1.1.1}}} \color{red}: \large{\color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}3}}\frac{x^2+6x-27}{x^2-3x}}}$

Limit hesaplama yöntemlerini henüz öğrenmemiş olsanız dahi yukardaki sorunun cevabını $x$ yerine değerler vererekte bulabilirsiniz, ve fonksiyonun $x=2$ civarında nasıl davrandığını gözlemleyebilirsiniz.

Şekil 1.1a'deki tabloyu $x$'e hem sağdan hem de soldan $2$'ye çok yakın olacak değerler vererek oluşturduk. Her iki durumda da $x=2$'ye ne kadar çok yaklaşırsanız fonksiyonunda $4$'e o kadar çok yaklaştığını görebilirsiniz. Yani: $\large{\color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}3}}\frac{x^2+6x-27}{x^2-3x}}}=$ $4.$ Dikkat ederseniz, $x=2$ değerini kullanmadık, çünkü bu değer fonksiyonun paydasını $0$ yapıyor. Bu istenen bir durum değildir! Fakat limit zaten $x=2$ noktasında ne olduğuyla ilgilenmiyor, bu noktanın çok yakın komşuluğunda neler olduğu ile ilgileniyor. Dolayısıyla $x=2$'nin fonksiyonda kullanılıp kullanılmaması bir problem oluşturmaz.

Burada neler olduğu üzerine biraz daha kafa yoralım, ve örnekteki fonksiyonu ilgilendiğimiz bir $x$ alanı içinde ( örneğin $ 0 \lt x\lt 6$) grafikselleştirelim.

**Şekil 1.1b:** Grafiksel Limit; fonksiyon $x=3$'de tanımsız, $f(3)=?$.

Dikkat ederseniz, fonksiyon $x=3$'de bir boşluğa sahip; burada fonksiyon mevcut değil, yani tanımsız! Ama daha öncede belirttiğimiz gibi biz bu noktanın kendisi ile ilgilenmiyoruz. $x=3$ noktasına fonksiyon üzerinde hem sağdan hem de soldan yürüyerek yaklaşırsak gördüğümüz değer $4$'tür. İşte bu limitin değeridir! Başka bir deyişle; fonksiyonun $x=3$ etrafında ne yaptığını anlamaya çalışıyoruz, $\color {green} {x=3}$ noktasında ne yaptığı bizi ilgilendirmiyor!

$\color{red}{\underline{{Örnek. 1.1.2}}} \color{red}:\hspace1em $$ \color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}3}} f(x) =?,\hspace1em \hspace1em f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \large{\frac{x^2+6x-27}{x^2-3x}} &,x \ne 3 \\ 8 &,x=3 \end{array} \right.} $$ $

Bu örnekte ilk gözümüze çarpan, fonksiyonun $x=3$'te bir değere sahip olması, yani tanımlı olmasıdır $f(3)=8$.

**Şekil 1.1c:** Grafiksel Limit; fonksiyon $x=3$'de tanımlı, $f(3)=8$.

Bu durumum kafanızı karıştırmasına izin vermeyin. Fonksiyonun, o noktada tanımlı olması demek limitin değerininin o olduğu anlamına gelmez! Biz halen, fonksiyonun $x=3$ noktasının etrafında ne yaptığı ile ilgileniyoruz. Bunu yaparken ayaklarımızın fonksiyon yolu/çizgisi üzerinde hareket etmesi gerekir, boşlukta değil! Yani yukarı zıplayıp içi dolu mavi noktanın neye karşılık geldiğini bulmak amacımız değil. Biz ayaklarımızı yerden kesmeden fonksiyonun yarattığı yol üzerinde hareket edip istenilen o özel noktaya sağdan ve soldan yaklaşıp çok yakınında gözlem yapıyoruz!! Yani bu örnekte de: $\large{\color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}3}}\frac{x^2+6x-27}{x^2-3x}}}=$ $4.$

$\color{red}{\underline{{Örnek. 1.1.3}}} \color{red}:\hspace1em $$ \color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}3}} f(x) =?,\hspace1em \hspace1em f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \large{\frac{x^2+6x-27}{x^2-3x}} &,x < 3 \\ 3x-1 &,x \ge 3 \end{array} \right.} $$ $

Bu örnek için bir tablo oluşturup sonucu bulabilirdik, ama grafiksel olarak olayı incelemek çok daha kolay.

**Şekil 1.1d:** Grafiksel Limit; parçalı fonksiyon.

Şekilde de görüldüğü gibi, fonksiyon üzerinde $x=3$ noktasına soldan yaklaştığımızda gördüğümüz değer $4$, sağdan yaklaştığızda gördüğümüz değer ise $8$'dir. Ancak Limit'in var olabilmesi için her iki taraftanda yaklaştığınızda elde ettiğiniz değerin aynı olması gerekir! Eğer farklı değerler gözlemliyorsanız bu nokta için Limit YOK'tur: $\large{\color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}3}}\frac{x^2+6x-27}{x^2-3x}}}\rightarrow$ $YOK$

$\color{red}{\underline{{Örnek. 1.1.4}}} \color{red}: \large{\color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0}}sin\frac{\pi}{x}}}$

**Şekil 1.1e:** Grafiksel Limit; tek değere yakınsamayan fonksiyon.

Bir önceki örnekte, noktaya sağdan ve soldan yaklaştığımızda 2 farklı değer bulmuştuk. Ancak, bu örnekte $x=0$'a ister sağdan ister soldan yaklaşın net bir şey söyleyemezsiniz, her denemenizde farklı değerler elde edersiniz. $x=0$'a yaklaştıkça fonksiyon çok daha şiddetli osilasyon yapıyor, ve herhangi bir değerde karar kılmak mümkün olmuyor. Bu durumlarda da limitten bahsedemeyiz! Yani; $ \large{\color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0}}sin\frac{\pi}{x}}}\Rightarrow $ $YOK$

Özet

Limit ilgili nokta çevresinde fonksiyonun nasıl davrandığı ile ilgilenir. Fonksiyonun o noktadaki değeri veya davranışı ile ilgilenmez.
$x=a$ noktasına sağdan ve soldan yaklaştığınızda aynı değeri elde edebiliyorsanız limit vardır, ve cevabı bulduğunuz değerdir
$x=a$ noktasında fonksiyon tanımsız olsa dahi, limitten bahsedebiliriz.
$x=a$ noktasında fonksiyon tanımlı olsa dahi, bu Limit'in fonksiyonun o değerine karşılık geldiği anlamına gelmez. Olabilirde!
Limit her zaman olmayabilir! $x=a$ noktasına sağdan ve soldan yaklaştığımızda farklı değerler elde ediyorsanız veya herhangi bir değere yakınsayamıyorsanız limit yoktur.
Limit hesaplamarında tablo kullanımı çok pratik değildir, ve bundan sonraki bölümlerde tablo ile limit hesaplamayacağız. Son örnekler, bu yöntemin kullanılmasının ne kadar tehlikeli olduğunu gösteriyor.
Bazı durumlarda limit hesaplama için grafik yönteminden başka bir yol olmayabilir (son örnekte olduğu gibi). Ancak bu çok pratik bir metod değildir, çünkü pek çok fonksiyonun grafik çizimi o kadar basit değildir. Eğer kolay çizebileceğiniz bir fonksiyon ile ilgileniyorsanız ve sonunda da güzel sayılar elde edebiliyorsanız grafik çizimi limit hesaplamada hayatınızı kolaylaştırabilir.
Burada tablo ve grafiklerden bahsettik çünkü: i) limit kavramını daha iyi anlamamız, ii) tablo/grafik kullanmaktan sakınmanız gerektiği konularının size açıklanmasında bize yardımcı oldular.

İSTEMBİL