1.4 Limit Hesaplama Metodları (Evaluating Limits)
Bu bölümde limit hesaplama teknikleri üzerinde duracağız. Hangi tür limitler için ne tür metodlar uygulayacağınızı ve bunlara nasıl karar vereceğinizi öğreneceksiniz. Aşağıdaki şekilde, limit hesaplarken uygulayabileceğiniz basit bir strateji önerdik.
Şekil 1.4a: Limit Hesaplama Yöntemi (Öneri!)
Dikkat ederseniz limit hesaplamarında karşımıza sıklıkla çıkan temel problem belirsizlik ve tanımsızlık durumlarıdır. İşte inceleyeceğimiz teknikler, bu temel sorunu ortadan kaldırmak için uygulanır. Fakat, bu durumlarda limitin neye karşılık geldiğini üzerinde biraz çalıştıktan sonra bulabiliriz.
Limit problemlerini çözerken aşağıda gösterilen tablodaki sıralamayı baz alacağız. Tablodaki bu yöntemleri ünitenin sonundaki çözümlü problem setlerinde detaylı bir şekilde ele alacağız.
Şekil 1.4b: Limit Hesaplama Metodları
$$ $$
Bu metodlara burada kısaca değinelim:
1) Yerine koyma:
Yerine koyma tekniği ilk yapmanız gereken işlemdir. Bu teknikte fonksiyona $x$'in yaklaştığı değeri ($x=a$) koyarsınız, ve sonuç tanımlı ise limitin değeri çıkan sonuçtur. Fakat sonucunuz tanımsız veya belirsiz ise başka teknikler uygulayarak yeni bir fonksiyon elde edersiniz ve $x$ yerine tekrar o değeri koyarak sonuca ulaşırsınız.
2 & 3 ) Çarpanlarına ayırma / Parantez açma & Sadeleştirme:
Bu metodu, bir önceki metodun çalışmadığı durumlarda deneyebilirsiniz. Genellikle fonksiyonun bir bölümü polinom bir yapıdadır, ve bu yapının çarpanlarına ayırılarak (ve/veya parantezi açılarak) sadeleştirilmesi çok sıkça başvurulan bir yöntemdir. Aslında temel amaç, paydayı sıfır yapan terim/terimleri bu yöntemle ortadan kaldırmak. Ancak bu uygulamalardan sonra da sorun giderilemiyorsa, o zaman fonksiyonun o noktada limiti yoktur deriz. Bazen köklü ifadelerin çarpanlarına ayrılması gerektiği durumları ile de karşılaşabiliriz.
$$ $$
4) Ortak payda:
Bazı durumlarda ilk 3 yöntem çalışmaz (çarpanlarına ayıracak, parantezini açacağınız bir durum olmayabilir) ve fonksiyonda rasyonnelleştireceğiniz köklü bir ifade de yer almaz (yani eşleniği ile çarpma bölme durumu söz konusu değil; 4. yöntem!). Neticede paydanın sıfır olmasından kurtulamazsınız. Bu durumda payda eşitleme veya ortak payda yöntemine başvurarak sadeleştirme işlemlerinizi gerçekleştirebilirsiniz.
$$ $$
5) Eşleniği ile çarpma/bölme:
Bu teknikiğin kullanılacağı durumlar oldukça açıktır. Çoğunlukla, köklü ifade içeren fonksiyonların limitlerinin hesaplanması için kullanılır. Burada, tanımsızlık veya belirsizlik durumlarında pay veya payda da bulunan köklü ifade eşleniği ile çarpılıp-bölünür, ve $\color{red}{a^2}-\color{blue}{b^2}=(\color{red}{a}-\color{blue}{b})(\color{red}{a}+\color{blue}{b})$ ifadesi yardımıyla işlemler sadeleştirilir. Böylece paydayı sıfır yapan terim fonksiyondan uzaklaştırılır.
$$ $$
6) sinx/x formatı ve Trigonometrik limitler:
Trigonometrik fonksiyon içeren pek çok limit problemini $\color{black}{i)}$ trigonometrik açılımlar/özdeşlikler ve/veya $\color{black}{ii)}$ $\bbox[#FFF,4px,border:1px solid red] {\displaystyle\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0}}\frac{sinx}{x}=\displaystyle\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0}}\frac{x}{sinx}=\color{green}{1}}$ limitini kullanarak çözebiliriz.
Bu nedenle temel trigonometrik özelliklerin iyi bilinmesi gerekir!
$$ sin(-x)=-sinx, \hspace4em cos(-x)=cosx, \hspace4em cos^2x+sin^2x=1 $$ $$
tanx=\frac{sinx}{cosx}, \hspace4em cscx=\frac{1}{sinx}, \hspace4em secx=\frac{1}{cosx} $$ $$
sin2x=2sinx.cosx,\hspace2em cos2x=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x =2cos^2x-1 $$
$$ $$
7) Mutlak değer:
Mutlak değer içeren fonksiyonların limitleri için öncelikle mutlak değer içindeki fonksiyonun pozitif 'mi yoksa negatif 'mi olduğuna karar vermelisiniz örneğin; $\displaystyle \bbox[yellow]{x\gt a} \color{fuchsia}\rightarrow |x-a|=\color{red}+(x-a), \hspace1em \displaystyle \bbox[yellow]{x\lt a} \color{fuchsia}\rightarrow |x-a|=\color{red}-(x-a)$. Eğer tek-taraflı limit ile ilgileniyorsanız fonksiyonu sadece o bölge için mutlak değerden çıkarmanız yeterli, ama normal limitle ilgileniyorsanız her iki bölge için mutlak değer fonksiyonunu incelemeniz ve ona göre limiti belirlemeniz gerekir.
$$ $$
8) Parçalı fonksiyonlar:
Parçalı fonksiyonlar farklı bölgelerde farklı davranırlar. Bu nedenle bu fonksiyonların limitlerini hesaplarken dikkat etmeniz gereken $x=a$ noktasında fonksiyonun nasıl davrandığıdır: $1)$ eğer o noktada fonksiyon farklı bir fonksiyonu geçiş yapıyorsa ilgili nokta için sağdan ve soldan limit hesaplanır, $2)$ eğer fonksiyon orijinalliğini koruyor ve o noktada $i)$ süreksiz ise (yani boşluk var ise) yine sağdan ve soldan limitlere bakılır, $ii)$ sürekli ise (yani boşluk yok ise) bu durumda limit vardır ve $x=a$ noktasını fonksiyonda yerine koymanız yeterlidir.
9) Tek-taraflı limitler:
Tek-taraflı limit konusunu Bölüm 1.2 'de detaylı bir şekilde inceledik. Burada dikkat edilmesi gereken diğer durum şudur: eğer $x=a$ noktasını fonksiyonda yerine koyduğunuzda $\frac{sayı}{0}$ ifadesi elde ediyorsanız, fonksiyonun sağdan ve soldan limitlerine bakılması gerekir. Çünkü sonucunuzun $\color{red}{+\infty}$'mi yoksa $\color{red}{-\infty}$'mi olduğunu tek-taraflı limitlere bakmadan anlayamazsınız!
$$ $$
10) Sandviç teoremi:
Sıkıştırma teoremi olarakta bilinen bu teorem genellikle yukarda belirtilen teknikleri kullanarak hesaplayamadığınız daha karmaşık yapıdaki fonksiyonların limitlerinin bulunmasında kullanılır. Genel mantık şu şekildedir: limitini bulmak istediğimiz fonksiyonu, limitini bildiğimiz veya kolayca hesaplayabileceğimiz iki fonksiyon arasına sıkıştırıyoruz veya sandviç yapıyoruz. Teknik olarak, eğer bilinen iki farklı fonksiyon $\color{blue}{g(x)}$ ve $\color{green}{h(x)}$ bir noktaya sıkışmışsa, bu iki fonksiyonun arasına hapsolmuş herhangi bir fonksiyon da $\color{red}{f(x)}$ bu noktaya sıkışır.
Bu teorem pek çok dilde 2 polis ve sarhoş teoremi olarakta kullanılır. Hikaye şöyledir: iki polis memurunun sarhoş bir suçluyu hapishaneye götürdüğünü hayal edin. Sarhoş kişinin iki polis arasında sallanması veya hapishaneye gitmek için takip edilen yolun güzergahı hiçbir şey değiştirmeyecektir. Biliyoruz ki 2 polis ve sarhoş eninde sonunda hapishanedeki hücreye beraber gireceklerdir. Burada 2 polisi $\color{blue}{g(x)}$, $\color{green}{h(x)}$ fonksiyonları ve sarhoşu $\color{red}{f(x)}$ fonksiyonu olarak düşünebilirsiniz. 2 polis hücreye girdiğinde aralarında sıkımış olan sarhoşda hücreye girecektir (hücre $=L$'dir!). Dikkat ederseniz, iki polis şartı var, polislerden biri şartı sağlamazsa bu teorem geçerliliğini yitirir; yani her iki polisinde hücreye girmesi gerekir. Bu matematiksel olarak $\color{blue}{g(x)}$ ve $\color{green}{h(x)}$ fonksiyonlarının limitinin $x \to a$ için aynı olması demektir. Dolayısıyla bu şart $\color{red}{f(x)}$ fonksiyonu (sarhoş) için de otomatik olarak sağlanmış olur.
Şimdi bu hikayeyi grafiksel ve matematiksel olarak aşağıdaki şekilde ifade edelim.
Şekil 1.4c: Sandviç Teoremi.
