İSTEMBİL

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

Matematik I - Bölüm 1: Limit ve Süreklilik (Limit and Continuity)

İÇİNDEKİLER

REKLAM

1.7 Süreklilik (Continuity)

Sürekliliğin sokak dilindeki tanımını şu şekilde yapabiliriz: eğer bir aralıkta herhangi bir fonksiyonu kaleminizi kaldırmadan çize biliyorsanız bu fonksiyona süreklidir diyebilirsiniz. Fakat bu tanımlama uygulanabilir ve pratik bir tanımlama değildir, çünkü grafiğini çizemeyeceğimiz çok karmaşık yapıda fonksiyonlar vardır. Bu sebeple süreklilikten bahsederken güvenilir ve yasal yollara başvuracağız. Matematiksel olarak bir fonksiyon $x=a$ noktasında sürekli ise:

$$\displaystyle \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a}}f(x) ={\color{green}{f(a)}} \hspace2em $$ $ \color{fuchsia}{\Downarrow} \hspace2em \tag{1.8}$ $$\displaystyle \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^+}}}f(x) =\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^-}}}f(x)={\color{green}{f(a)}} \hspace2em $$

Denklem $1.8$' deki şart sağlanmıyorsa fonksiyon süreksizdir (yani fonksiyonun grafiğini çizerken kaleminizi kaldırıyorsanız bir çeşit süreksizlik durumu vardır ve fonksiyon o noktada sürekli değildir).

Dört farklı süreksizlik durumu vardır:

1) Kaldırılabilir(veya çıkaraılabilir) süreksizlik -Removable Discontinuity : fonksiyonun grafiği üzerindeki tanımsız nokta (boşluk). Sağdan ve soldan limitler biribine eşit (limit var!), fakat fonksiyon o noktada tanımsız olduğu için süreksizdir:$$\displaystyle \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^+}}}f(x) =\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^-}}}f(x)\ne{\color{green}{f(a)}} \hspace2em $$

$f(x)$ fonksiyonunun $x=a$' daki süreksizliğinin yeni bir fonksiyon tanımlanarak kaldırılmasına fonksiyonun sürekli genişlemesi denir. Rasyonel fonksiyonlardaki tanımsız noktalar (boşluklar) payı ve paydayı sıfır yapan aynı ifadelerin bulunmasından kaynaklanır. Dolayısıyla bir fonksiyonda kaldırılabilir süreksizliği bulmak için : i) pay ve paydayı çarpanlarına ayır, ii) sadeleştirme yaptığın fonksiyonu 0 yapan değerleri bul. İşte bu değerler fonksiyondaki boşluklardır!

2) Sıçrayan (veya atlayan) süreksizlik -Jump Discontinuity : fonksiyonun belli noktada iken başka bir lokasyona sıçraması. Sıçramadan sonra fonksiyon farklı bir yapıya da dönüşebilir, aslında fonksiyonda bir kırılma durumu söz konusudur. Sağdan ve soldan limitler biribine eşit olmadığı için (limit YOK!) fonksiyon süreksizdir ($\color{green}{f(a)}$' nın tanımlı veya tanımsız olması bu şartlar altında çok ta önemli değil, çünkü fonksiyonun limiti yok):$$\displaystyle \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^+}}}f(x) \ne\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^-}}}f(x) \hspace2em $$

3) Sonsuz süreksizlik -Infinite Discontinuity : fonksiyonun tek taraflı-limitlerinden birinin veya ikisinin ilgili noktada ($x=a$) sonsuza gitmesi. Grafiksel olarak aslında bu dikey asimptotlara karşılık gelir. Burada, limit gerçel sabit bir sayıya eşit olmadığı için yoktur, ve sonuç olarak fonksiyon o noktada süreksizdir, örneğin :$$\displaystyle \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{a^+}}}f(x)=\color{green}{-\infty} \hspace2em $$

4) Osilasyon süreksizliği -Oscillating Discontinuity : fonksiyonun aynı noktada farklı değerlere yaklaşması. Bölüm 1.2, Örnek1.2.2 'yi inceleyebilirsiniz.

En sık karşılaştığımız bu durumlardan ilk üçünü Şekil 1.7'de şematik olarak gösterdik.

Şekil 1.7: Süreksizlik Durumları.
REKLAM
Önceki Sayfa 1.6 Sonsuzda Limitler & Yatay Asimptotlar (Limits at Infinity & Horizontal Asmyptotes)
Sonraki Sayfa Çözümlü Problem Set