İSTEMBİL

Giriş

Etrafımızdaki pek çok olay kendi içindeki parametrelere veya faktörlere bağlı olarak değişkenlik gösterir. İşte türev hayatımızı önemli derecede etkileyen olayların bu parametrelere göre nasıl şekil alacağının tahmin edilmesi için kullanılan temel bir matematiksel yöntemdir; hız, ivme, deprem şiddeti, bir kültürdeki bakteri artışı veya hastalığın yayılma hızı, enflasyon, fabrikadaki üretim seviyesinin maksimize edilmesi, sanat eserlerinin yaşlarının tespiti gibi hesaplamalar. Türev tanımına iki farklı yoldan yaklaşılabiliriz: 1) fiziksel olarak bir niceliğin diğerine göre değişim hızı/miktarı, 2) geometrik olarak bir eğrinin eğimi.

Tarihsel olarak matematikçiler arasında hangi yöntemin türevi tanımlamada daha iyi olduğuna dair bir çekişme olmuştur. Bu detaya fazla inmeden her iki yaklaşıma da kısaca değinip, bizim için daha önemli olan farklı ve karmaşık fonksiyonların türevlerini hesaplamak için geliştirilen yöntemleri inceleyeceğiz.

Karla kaplı bir dağın tepesinden aşağıya doğru sorunsuz bir şekilde kaydığınızı hayal edin (kaydığınız yolun düzgün ve engelsiz olduğunu düşünün-yani problemsiz bir fonksiyondan bahsediyoruz). Başlangıç noktanızda hareketsizsiniz ve harekete başladığınız andan itibaren hızınız sürekli artıyor. Bu artışı etkileyen pek çok parametre olabilir; örneğin dağın eğimi, karlı yüzeyin bazı bölgelerde daha sert veya daha yumuşak oluşu, rüzgarın şiddeti ve yönü, takip ettiğiniz yolun virajlı olup olmaması gibi. Fonksiyonunuzu yani takip edeceğiniz yolu bu parametrelerin biri, veya daha fazlası veya hepsi cinsinden ifade edebillirseniz, ve hızınızın değişiminide onların türünden hesaplayabilirsiniz. Eğer bu yol boyunca rahat bir şekilde kayabiliyorsanız size türevlenebilirsiniz (differentiable)-fonksiyon o aralıkta sürekli ve türevi vardır- diyebiliriz. Ama ilk etapta bu kadar karmaşık bir yapıyı incelemeyeceğiz, çoğunlukla tek bir parametredeki değişimin yarattığı etkileri inceleyeğiz. Bu örnekte diğer değişkenleride kullanıp youlunuzu sadece zamana bağlı tek bir fonksiyon olarak ifade ettiğinizi düşünün. Başka bir deyişle; eğim, viraj ve kar yüzeyi gibi değişkenleri ayrı ayrı veya kendi içlerinde değişik kombinasyonlarla paketleyip daha büyük bir paket olan zaman paketi içine attığınızı düşünün. Artık yolunuz sadece zamana bağlı değişen bir niceliktir. İşte yolun zamana göre değişim miktarı size hızınızı verecektir, yani türevi! Pozisyonunuzun türevi demek; zaman ilerledikçe pozisyonunuzdaki değişim miktarı demektir = hız.

2.1 Türev (Derivatives-Differentation)

1)Fiziksel Tanım (Değişim miktarı/hız): Bu yaklaşım Newton tarafından Klasik Mekanik’in geliştirilmesinde kullanıldı. Ana tema hız kavramına dayanıyor. Yukarıdaki şekile göre, $A$ noktasından $3sn$ ve $B$ noktasından ise $5$ sn sonra geçtiğinizi ve bu noktalardaki pozisyonunuzun $x_A=9m$ , $x_B=25 m$ olduğunu düşünün. Eğer bu iki nokta arasındaki ortalama hızınızı bulmak isterseniz yapacağınız işlem;

Bunu daha kısa bir şekilde ifade edebiliriz:

$$\vec{V}_{ortalama}=\vec{V}_{ort} ={\vec{\Delta x} \over \Delta t}={(\vec x_B-\vec x_A)\over(t_B-t_A)}={(25m-9m) \over (5s-3s)}=8 m/s$$

Şimdi iki nokta arasındaki ortalama hız yerine sadece bir noktadaki (örneğin $A$ noktasındaki) hızı bulmayı deneyelim. Bu noktadaki hıza anlık hız denir. Bu hızı yukarıdaki hesaplama yöntemiyle bulamayız; yani cevabımız $$ \require{cancel} \cancel{\vec{V}_{anlık} = {\vec{x}_A\over t_A}={9m\over3s}=3m/s} \require{enclose} $$ olamaz! İşte türev kavramının çıkış noktası burasıdır (bir noktadaki hız), yani burada anlık hızın hesaplanması için geliştirilen yöntem bizi türevin tanımına götürecektir.

İlk örneğimize geri dönelim; ve $B$ noktasını $A$ noktasına mümkün olduğu kadar yaklaştıralım ( Şekil 2.1b). $A$ ve $B$ noktaları birbirlerine çok yakın olduğu için aralarındaki zaman-$\Delta t$ ve mesafe-$\Delta x$ de çok ama çok küçük olacaktır. Artık bu yeni mavi noktanın koordinatı $x_A+\Delta x$ ve zamanı $t_A+\Delta t$'dir. Şimdi tekrar ortalama hız tanımımızı kullanabiliriz. Fakat bizim amacımız $A$ noktasındaki anlık hızı bulmak. Bu şu anlama geliyor; bizim mavi noktayı kırmızı noktanın üzerine veya çok yakınına koyabilmemiz için aradaki zamanın ($\Delta t$) sıfıra yaklaşması gerekiyor. Yani aradaki zaman farkı sıfıra yaklaştığında ($\Delta t \rightarrow0$ ) biz artık $A$ noktasındayız ve bu noktadaki hızı biliyoruz demektir. Bu durum bizi otomatik olarak limit kavramına götürüyor. Dolayısıyla ortalama hız tanımından yola çıkıp limit kavramını da kullanıp $A$ noktasındaki anlık hızı şöyle ifade edebiliriz:

$$ \displaystyle \vec{V}_{anlık}= \lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}} {\vec x_{x_A+\Delta x}-\vec x_A\over t_{t_A+\Delta t}-t_A}=\lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}}{\vec{\Delta x} \over \Delta t} \hspace2em \hspace2em $$

Aşağıdaki şekilde yukarıda tartışılan durumlar özetlenmiştir.

Bu ifadeyi biraz daha genelleyelim ve pozisyonumuzu $\vec x_A$,$\vec x_B$ gibi parametreler yerine zamana bağlı bir $f(t)$ fonskiyonu ile ifade edelim, bu durumda anlık hızımız;

$$ \displaystyle \vec{V}_{anlık}= \lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}} {f(t+\Delta t)-f(t)\over \Delta t} \hspace2em \hspace2em $$

Bu tanımlamalardan sonra şimdi aldığımız yolun fonksiyonunun $f(t)=t^2$ olduğunu düşünün ve $t_A=a$ $sn$'deki anlık hızı bulmaya çalışalım.

$$v(t=a) =\lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}}{{f(a+\Delta t)-f(a)} \over {(a+\Delta t) -a}}=\lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}}{{(a+\Delta t)^2-(a)^2} \over {\Delta t }}=\require{cancel} \lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}}{\cancel{\color{green}{a^2}}+2a \Delta t +{\Delta t}^2-\cancel{\color{green}{a^2}} \over {\Delta t }}\require{enclose}$$ $$v(t=a) =\require{cancel} \lim\limits_{{\color{blue}{\Delta t}}\to {\color{red}0}}{2a +\cancelto{0}{\color{green}{\Delta t}}}\require{enclose}=2a$$

Bu işlemleri çok karmaşık ifadeler için yazmak ve çözmeye çalışmak çok pratik değil, bu nedenle daha kolay ve uygun bir notasyon kullanmak gerekir. Bu notasyon türevdir ve bunuda aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz;

$$v(t=a)={df(t) \over {dt}}={d(t^2) \over {dt}}=2t=2.a=2a $$ Yani $t^2$ ifadesinin türevi $2t$'dir. Örneğin, $t=3s$'deki anlık hız $v(t=3) =2t=2.3=6m/s$'dir.

Burada $f(t)$ fonksiyonu zamana $t$ bağlı değişen bir fonksiyondur ve onun zaman göre değişim miktarı anlık hızı verir. Bu notasyonu herhangi bir fonksiyon ve değişken parametre için genelleyebiliriz: $y=f(x)$ gibi genel bir fonksiyon tanımlayalım ve buradaki değişkenimiz $x$ olsun ve $y$’deki değişim miktarını $x$’e göre hesaplayalım. $y$’nin türevini $\color{red}{y’}={\color{red}{dy \over dx}}$ olarak göstereceğiz:

$$ \displaystyle \color{red}{y’}={\color{red}{dy \over dx}}= \lim\limits_{\Delta x\to 0} {f( x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}=\lim\limits_{h \to 0} {f( x+h)-f(x)\over h}= {\color{green}{df(x) \over {dx}}}=\color{green}{f'(x)} \hspace2em \hspace2em \tag{2.1}$$

Bu notasyon Wilhelm Gottfried Leibniz tarafından tanıtıldı. Leibniz ve Isaac Newton Kalkülüs’ün yaratıcıları olarak bilinirler.

2)Geometrik Tanım (Eğim): Türevin geometrik kavramı anlamak için Şekil 2.1a'da kayakçının geçtiği kırmızı noktadaki anlık hızı hesaplacağız. Dikkat ederseniz bu kırmızı noktaya teğet kırmızı bir çizgi var. Bu çizgi tanjant doğrusudur, ve bu doğrunun eğimi türevin tanımını verecektir. Diğer renkteki kesikli çizgiler sekant doğrularıdır, bu doğrular iki noktayı birleştiren doğrulardır (kırmızı-pembe, kırmızı-yeşil, kırmızı-mavi). Bizim başlangıç noktamızda bu doğrular olacaktır. Yol üzerinde pembe noktadan kırmızı noktaya ilerlediğimiz zaman (pembe noktayı kırmızı noktaya yaklaştırıyoruz) sekant doğrusunun tanjant doğrusuna yaklaştığını görebilirsiniz, ve kırmızı noktanın üzerinde veya çok yakınında sekant doğrusu artık tanjant doğrusuna dönüşüyor. İşte sekant doğrusu ile yola başlayıp (ortalama hız) tanjant doğrusu ile yolu bitirdiğimiz noktadaki anlık hız hesaplaması (tanjant doğrusunun eğimi) türevin geometrik tanımını veririr.

Bu durumu detaylı bir şekilde farklı bir resim içinde inceleyelim, Şekil 2.1c. Mavi noktanın kırmızı noktaya çok yakın olduğunu düşünün ve şimdi bu iki noktayı koordinat eksenine taşıyalım ($f(t)$=yolun zamana göre değişim fonksiyonu, $y$-ekseni= alınan yol, $x$-ekseni= zaman), Şekil 2.1c-a. Kırmızı ($\vec x_A$, $t_A$) ve mavi ($\vec x_B$, $t_B$) noktalar arasındaki ortalama hızı hesaplarsak;

$$\vec{V}_{ortalama}=\vec{V}_{ort} ={\vec{\Delta x} \over \Delta t}={(\vec x_B-\vec x_A)\over(t_B-t_A)}$$

$f(t)$ fonksiyonu, $A$ ve $B$ noktalarındaki zamanı ($t_A$, $t_B$) bildiğimiz için $\vec x_A$ ve $\vec x_B$'nin pozisyonunu $f(t)$ fonksiyonunu kullanarak bulabiliriz: $\vec x_A=f(t_A)$, $\vec x_B=f(t_B)$. Böylece ortalama hızı koordinat ekseni üzerinde yeniden tanımlayabiliriz Şekil 2.1c-b;

$$V_{ort} ={{ f(t_B)-f(t_A)}\over{t_B-t_A}}=\color{green}{eğim}$$

Daha önce türevi fiziksel olarak tanımladığımız gibi mavi noktayı kırmızı noktaya çok yaklaştıracağız Şekil 2.1c-c, ve artık bu iki arasındaki mesafe $\Delta x$ ve zaman farkı $\Delta t$ çok küçük olacaktır. Bununla birlikte secant doğrusu tanjant doğrusuna daha çok yaklaşmış olacak. Dolayısıyla $B$ noktasının yeni koordinatı $\vec x_A+\vec {\Delta x}$ ve buna karşılık zamanda $t_A+\Delta t$ olacak, böylece ortalama hızın bu biribirine iki yakın noktaya göre yeni formu Şekil 2.1c-d;

$$V_{ort} ={{ f(t_A+\Delta t)-f(t_A)}\over{(t_A+\Delta t)-t_A}}=\color{green}{eğim}$$

Şimdi tekrar $\Delta t$'yi $0$'a yaklaştırırsak ($\Delta t \rightarrow0$ ), mavi noktayı kırmızı noktanın üzerine veya çok yakınına getirmiş oluruz. Böylece secant doğrusu tanjant doğrusuna dönüşmüş olacak Şekil 2.1c-d. Ve secant doğrusunu kullanıp hesapladığımız eğim $\Delta t \rightarrow0$ için tanjant doğrusunun eğimine eşit olacak. Bu da bizi kırmızı noktadaki anlık hıza yani türevin tanımına götür. Sonuç olarak tanjant doğrusunun eğimi= türev.

$$ \displaystyle \color{red}{y’}={\color{red}{dy \over dt}}= \lim\limits_{\Delta t\to 0} {f( t+\Delta t)-f(t)\over \Delta t}=\lim\limits_{h \to 0} {f(t+h)-f(t)\over h}= {\color{green}{df(t) \over {dt}}}=\color{green}{f'(t)} \hspace2em \hspace2em \tag{2.2}$$