Matematik I - Bölüm 2: Türev (Differentation)
Bu bölümde karmaşık yapıdaki trigonometrik fonksiyonların türevlerinin hesaplanması için bilmemiz gereken temel fonksiyonların türevlerini ele alacağız. Bölüm $2.1$' de ele aldığımız türevin genel tanımını kullanarak $sin\color{red}x$ fonksiyonunun türevini, ve bölüm $2.2$'de tanımladığımız bölme kuralını kullanarak $tan\color{red}x$ fonksiyonunun türevini bulacağız.
$\color{blue}\checkmark$sinx:
$$ (sinx)'={d \over dx}(sinx)=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {sin(\color{red}x+\color{green}h)-sin(\color{red}x)\over \color{green}h}$$ $$ sin(\color{red}x+\color{green}h)= sin \color{red}x \ cos\color{green}h\ +\ cos \color{red}x \ sin\color{green}h $$ $$ $$ \begin{align} {d \over dx}(sin\color{red}x)&=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {(sin \color{red}x \ cos\color{green}h\ +\ cos \color{red}x \ sin\color{green}h)-sin \color{red}x \over \color{green}h} \\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {sin \color{red}x (\ cos\color{green}h\ -1)+\ cos \color{red}x \ sin\color{green}h \over \color{green}h}\\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} sin \color{red}x {(\ cos\color{green}h\ -1)\over \color{green}h} \ +\ \lim\limits_{\color{green}h \to 0} cos \color{red}x {\ sin\color{green}h \over \color{green}h} \\ \\ & =sin \color{red}x \ \bbox[#FFA]{\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\require{cancel} \cancelto{0}{{(\ cos\color{green}h\ -1)\over \color{green}h}}\require{enclose}}}\ +\cos \color{red}x\ \bbox[#FFA]{\lim\limits_{\color{green}h \to 0} \require{cancel} \cancelto{1}{{\ sin\color{green}h \over \color{green}h}}} \\ \\ &= cos \color{red}x \end{align}
$\color{fuchsia}{\Rightarrow} cos\color{red}x$ fonksiyonunun türevide aynı yöntemle hesaplanabilir: $(cos\color{red}x)'={d \over dx}(cos\color{red}x)=\color{blue}-sin\color{red}x$ $$ $$
$\color{blue}\checkmark$tanx:
$tan\color{red}x$'in türevide sıkça karşılaştığımız bir durumdur, fakat artık $sin\color{red}x$ ve $cos\color{red}x$ fonksiyonlarının türevlerini bildiğimiz için $tan\color{red}x$ fonksiyonun türevini hesaplarken türevin bölme kuralını kullanacağız; $$ $$ \begin{align} {d \over dx}(tan\color{red}x)&={d \over dx} \left({\color{blue}{sin} \color{red}x \over \color{green}{cos}\color{red}x}\right) \\ \\ & = {\color{green}{cos}\color{red}x \ \color{green}{cos}\color{red}x\ -\color{blue}{sin\color{red}x} \ (-\color{blue}{sin}\color{red}x) \over \color{green}{cos^2}\color{red}x}\\ \\ & ={\color{green}{cos^2}\color{red}x \ + \color{blue}{sin^2\color{red}x} \over \color{green}{cos^2}\color{red}x} \hspace4em (\color{green}{cos^2}\color{red}x \ + \color{blue}{sin^2\color{red}x}=1)\\ \\ & ={1 \over \color{green}{cos^2}\color{red}x} \\ \\ & = {sec^2}\color{red}x \end{align}
$\color{fuchsia}{\Rightarrow} cot\color{red}x$ fonksiyonunun türevide aynı yöntemle hesaplanabilir: ${d \over dx} \left({\color{green}{cos} \color{red}x \over \color{blue}{sin}\color{red}x}\right)=-{csc^2}\color{red}x$
Not: $sin\color{red}x$ ve $cos\color{red}x$ fonksiyonların türevlerini biliyor olmamız yeterli, çünkü diğer fonksiyonların türevlerini hesaplarken ihtyacımız olan türev kuralları (özellikle çarpma ve bölme) ve bu iki ana fonksiyonun türevidir!