İSTEMBİL

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

Matematik I - Bölüm 2: Türev (Differentation)

İÇİNDEKİLER

REKLAM

2.3 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi (Derivatives of Trigonometric Functions)

Bu bölümde karmaşık yapıdaki trigonometrik fonksiyonların türevlerinin hesaplanması için bilmemiz gereken temel fonksiyonların türevlerini ele alacağız. Bölüm $2.1$' de ele aldığımız türevin genel tanımını kullanarak $sin\color{red}x$ fonksiyonunun türevini, ve bölüm $2.2$'de tanımladığımız bölme kuralını kullanarak $tan\color{red}x$ fonksiyonunun türevini bulacağız.

$\color{blue}\checkmark$sinx:

$$ (sinx)'={d \over dx}(sinx)=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {sin(\color{red}x+\color{green}h)-sin(\color{red}x)\over \color{green}h}$$ $$ sin(\color{red}x+\color{green}h)= sin \color{red}x \ cos\color{green}h\ +\ cos \color{red}x \ sin\color{green}h $$ $$ $$ \begin{align} {d \over dx}(sin\color{red}x)&=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {(sin \color{red}x \ cos\color{green}h\ +\ cos \color{red}x \ sin\color{green}h)-sin \color{red}x \over \color{green}h} \\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {sin \color{red}x (\ cos\color{green}h\ -1)+\ cos \color{red}x \ sin\color{green}h \over \color{green}h}\\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} sin \color{red}x {(\ cos\color{green}h\ -1)\over \color{green}h} \ +\ \lim\limits_{\color{green}h \to 0} cos \color{red}x {\ sin\color{green}h \over \color{green}h} \\ \\ & =sin \color{red}x \ \bbox[#FFA]{\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\require{cancel} \cancelto{0}{{(\ cos\color{green}h\ -1)\over \color{green}h}}\require{enclose}}}\ +\cos \color{red}x\ \bbox[#FFA]{\lim\limits_{\color{green}h \to 0} \require{cancel} \cancelto{1}{{\ sin\color{green}h \over \color{green}h}}} \\ \\ &= cos \color{red}x \end{align}

$\color{fuchsia}{\Rightarrow} cos\color{red}x$ fonksiyonunun türevide aynı yöntemle hesaplanabilir: $(cos\color{red}x)'={d \over dx}(cos\color{red}x)=\color{blue}-sin\color{red}x$ $$ $$

$\color{blue}\checkmark$tanx:

$tan\color{red}x$'in türevide sıkça karşılaştığımız bir durumdur, fakat artık $sin\color{red}x$ ve $cos\color{red}x$ fonksiyonlarının türevlerini bildiğimiz için $tan\color{red}x$ fonksiyonun türevini hesaplarken türevin bölme kuralını kullanacağız; $$ $$ \begin{align} {d \over dx}(tan\color{red}x)&={d \over dx} \left({\color{blue}{sin} \color{red}x \over \color{green}{cos}\color{red}x}\right) \\ \\ & = {\color{green}{cos}\color{red}x \ \color{green}{cos}\color{red}x\ -\color{blue}{sin\color{red}x} \ (-\color{blue}{sin}\color{red}x) \over \color{green}{cos^2}\color{red}x}\\ \\ & ={\color{green}{cos^2}\color{red}x \ + \color{blue}{sin^2\color{red}x} \over \color{green}{cos^2}\color{red}x} \hspace4em (\color{green}{cos^2}\color{red}x \ + \color{blue}{sin^2\color{red}x}=1)\\ \\ & ={1 \over \color{green}{cos^2}\color{red}x} \\ \\ & = {sec^2}\color{red}x \end{align}

$\color{fuchsia}{\Rightarrow} cot\color{red}x$ fonksiyonunun türevide aynı yöntemle hesaplanabilir: ${d \over dx} \left({\color{green}{cos} \color{red}x \over \color{blue}{sin}\color{red}x}\right)=-{csc^2}\color{red}x$

Not: $sin\color{red}x$ ve $cos\color{red}x$ fonksiyonların türevlerini biliyor olmamız yeterli, çünkü diğer fonksiyonların türevlerini hesaplarken ihtyacımız olan türev kuralları (özellikle çarpma ve bölme) ve bu iki ana fonksiyonun türevidir!

REKLAM
Önceki Sayfa 2.2 Türev Kuralları (Differentation Rules)
Sonraki Sayfa 2.4 Eksponansiyel & Logaritmik Fonksiyonların Türevi (Derivatives of Exp & Log Functions)