Matematik I - Bölüm 2: Türev (Differentation)
Ters trigonomterik fonksiyonların türevlerini hesaplamak için bir önceki ünitede kullandığımız ters fonksiyonların türevi ile ilgili genel formül ve ters trigonometrik fonksiyonların bazı genel özelliklerinden yararlanacağız;$\displaystyle \bbox[#FFA]{f^{-1}(x)=g(x), \hspace2em g^{-1}(x)=f(x)} \hspace1em \color{fuchsia}\Rightarrow $
$ \displaystyle\hspace20em {g'(\color{red}x)={1\over f'(g(\color{red}x))}}$
$ \hspace18em \displaystyle \color{blue}y=f^{-1}(\color{red}x) \hspace1em \color{fuchsia}\Rightarrow \color{red}x=f(\color{blue}y)$
$\hspace16em \displaystyle sin(sin^{-1}\color{red}x)=\color{red}x, \hspace2em sin^{-1}(sin\color{red}x)=\color{red}x$
$ \hspace16em \displaystyle cos(cos^{-1}\color{red}x)=\color{red}x, \hspace2em cos^{-1}(cos\color{red}x)=\color{red}x$
$ \hspace16em \displaystyle tan(tan^{-1}\color{red}x)=\color{red}x, \hspace2em tan^{-1}(tan\color{red}x)=\color{red}x$
Bu çok faydalı bir formül değil, bunu daha kullanışlı bir forma dönüştürmek için aşağıdaki transformasyonu kullanalım;
$\hspace12em \displaystyle \color{blue}y=sin^{-1}\color{red}x \hspace1em \color{fuchsia}\Rightarrow \color{red}x=sin\color{blue}y \hspace2em \color{aqua}\Rightarrow \hspace2em \displaystyle cos(sin^{-1}\color{red}x)=cos\color{blue}y\hspace1em$
Bu noktada $\bbox[#FFA]{{sin^2\color{blue}y+cos^2\color{blue}y=1}}$ eşitliğinden faydalanarak aşağıdaki sonucu elde edebiliriz;
$\hspace12em\displaystyle cos\color{blue}y=\sqrt{1-sin^2\color{blue}y} \hspace1em \color{aqua}\Rightarrow \hspace1em \displaystyle cos'(sin^{-1}\color{red}x)=cos\color{blue}y=\sqrt{1-sin^2\color{blue}y}=\sqrt{1-\color{red}{x^2}}\hspace1em$ $$ $$ $ \displaystyle\hspace11em \color{fuchsia}\Rightarrow {d \over dx}(sin^{-1}\color{red}x)= {1 \over\sqrt{1-\color{red}{x^2}}}\hspace1em \color{fuchsia}\checkmark$Daha kullanışlı bir durum için için aşağıdaki transformasyonu kullanalım;
$\hspace12em \displaystyle \color{blue}y=tan^{-1}\color{red}x \hspace1em \color{fuchsia}\Rightarrow \color{red}x=tan\color{blue}y \hspace2em \color{aqua}\Rightarrow \hspace2em \displaystyle sec^2(tan^{-1}\color{red}x)=sec^2\color{blue}y\hspace1em$
Aşağıdaki eşitlikten faydalanarak sonuca ulaşabiliriz;
$$ sin^2\color{blue}y+cos^2\color{blue}y=1 $$$$ {sin^2\color{blue}y \over \color{gray}{cos^2\color{#58F}y}}+{cos^2\color{blue}y \over \color{gray}{cos^2\color{#58F}y}}={1 \over \color{gray}{cos^2\color{#58F}y}}=sec^2\color{blue}y $$
$$
\bbox[#FFA]{tan^2\color{blue}y +1=sec^2\color{blue}y}
$$
$\hspace11em\displaystyle sec^2(tan^{-1}\color{red}x)=sec^2\color{blue}y=1+tan^2\color{blue}y=1+\color{red}{x^2}\hspace1em$
$$ $$
$ \displaystyle\hspace11em \color{fuchsia}\Rightarrow {d \over dx}(tan^{-1}\color{red}x)= {1 \over 1+\color{red}{x^2}}\hspace1em \color{fuchsia}\checkmark$