İSTEMBİL

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

Matematik I - Bölüm 2: Türev (Differentation)

İÇİNDEKİLER

REKLAM

2.6 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi (Derivatives of Hyperbolic Functions)

Hiperbolik fonksiyonların türevlerini hesaplayabilmemiz için öncelikle bu fonksiyonların genel özelliklerini hatırlamamız gerekir. Bu fonksiyonlar çoğunlukla $\color{blue}e^\color{red}x$ ve $\color{blue}e^\color{red}{-x}$'in kombinasyonlarından oluşurlar;

$ \displaystyle\hspace10em sinh\color{red}x={\color{blue}e^\color{red}x - \color{blue}e^\color{red}{-x} \over 2} \hspace5em \displaystyle cosh\color{red}x={\color{blue}e^\color{red}x + \color{blue}e^\color{red}{-x} \over 2}$

$ \displaystyle\hspace10em tanh\color{red}x={sinh\color{red}x \over cosh\color{red}x} \hspace6em \displaystyle coth\color{red}x={cosh\color{red}x \over sinh\color{red}x}$

$ \displaystyle\hspace10em sech\color{red}x={1 \over cosh\color{red}x} \hspace6em \displaystyle csch\color{red}x={1 \over sinh\color{red}x}$ $$ $$ $ \displaystyle\hspace10em sinh(-\color{red}x)=-sinh(\color{red}x) \hspace3em \displaystyle cosh(-\color{red}x)=cosh(\color{red}x)$

$ \displaystyle\hspace10em cosh^2(\color{red}x)-sinh^2(\color{red}x)=1 \hspace1em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \displaystyle 1-tanh^2(\color{red}x)=sech^2(\color{red}x)$ $$ $$ $ \displaystyle\hspace13em {d \over dx}(\color{blue}e^\color{red}x)=\color{blue}e^\color{red}x \hspace3em \displaystyle {d \over dx}(\color{blue}e^{-\color{red}x})=-\color{blue}e^{-\color{red}x} $





$\color{blue}\checkmark$sinhx: \begin{align} {d \over dx}(sinh\color{red}x)&={d \over dx}{\color{blue}e^\color{red}x - \color{blue}e^\color{red}{-x} \over 2}, \hspace1em \\ \\ &=\displaystyle{{d \over dx}(\color{blue}e^\color{red}x) - {d \over dx}\color{blue}e^\color{red}{-x} \over 2}, \hspace1em \\ \\ &={\color{blue}e^\color{red}x + \color{blue}e^\color{red}{-x} \over 2}\\ \\ &=cosh\color{red}x \end{align}

Aynı şekilde $\displaystyle{d \over dx}(cosh\color{red}x)=sinh\color{red}x$ olarak bulunabilir.



$\color{blue}\checkmark$tanhx: \begin{align} {d \over dx}(tanh\color{red}x)&={d \over dx} \left({\color{blue}{sinh} \color{red}x \over \color{green}{cosh}\color{red}x}\right) \\ \\ & = {\color{green}{cosh}\color{red}x \ \color{green}{cosh}\color{red}x\ -\color{blue}{sinh\color{red}x} \ \color{blue}{sinh}\color{red}x \over \color{green}{cosh^2}\color{red}x}\\ \\ & ={\color{green}{cosh^2}\color{red}x \ - \color{blue}{sinh^2\color{red}x} \over \color{green}{cosh^2}\color{red}x} \hspace4em (\color{green}{cosh^2}\color{red}x \ - \color{blue}{sinh^2\color{red}x}=1)\\ \\ & ={1 \over \color{green}{cosh^2}\color{red}x} \\ \\ & = {sech^2}\color{red}x \end{align}

Aynı yöntem uygulanarak $\displaystyle{d \over dx}(coth\color{red}x)=-csch^2\color{red}x$ olarak hesaplanabilir.

Not: $sinh\color{red}x$ ve $cosh\color{red}x$ fonksiyonların türevlerini biliyor olmamız yeterli, çünkü diğer fonksiyonların türevlerini hesaplarken ihtyacımız olan türev kuralları (özellikle çarpma ve bölme) ve bu iki ana fonksiyonun türevidir!

REKLAM
Önceki Sayfa 2.5 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions)
Sonraki Sayfa 2.7 Zincir Kuralı (Chain Rule)