İSTEMBİL

İstanbul Temel Bilimler Akademisi

Matematik I - Bölüm 2: Türev (Differentation)

İÇİNDEKİLER

REKLAM

2.7 Zincir Kuralı (Chain Rule)

Zincir kuralı, bileşik fonksiyonların türevlerini hesaplamak için uyguladığımız basit bir tekniktir. Bu kural bazen çok karmaşık ifadelerin türevlerinin hesaplanmasında kolay olmayabilir, ve bazı durumlarda zincir kuralını birden fazla defa uygulamamız gerekebilir. Bununla birlikte, zincir kuralının ana teması oldukça basittir, ve iyi anlaşıldığı durumda fonksiyonun ne kadar karmaşık olduğunun pek bir önemi kalmaz. Bu kuralı genel olarak iki farklı formda tanımlayabiliriz: $\color{red}{f(\color{green}x)}$, ve $\color{blue}{g(\color{green}x)}$ türevlenebilir fonksiyonlar ise,

1) $\color{magenta}h(\color{green}x)=\color{red}{f(\color{blue}{g(\color{green}x)})} \hspace6em \Rightarrow \displaystyle\hspace1em \color{magenta}h'(\color{green}x)=\color{red}{f'(\color{blue}{g(\color{green}x)})}\ \color{blue}{g'(\color{green}x)} $

2) $\color {#F80}y=\color{red}{f(\color{purple}u)}$, $\ \color{purple}u=\color{blue}{g(\color{green}x)} \hspace4em\Rightarrow$ $\displaystyle\hspace1em {d\color{#F80}y \over d\color{green}x}={d\color{#F80}y \over d\color{purple}u} \ {d\color{purple}u \over d\color{green}x} $

Bu iki formun kendi kullanım alanları vardır, fakat biz şimdilik birinci durum üzerine yoğunlaşacağız. Genel olarak zincir kuralını bileşik fonksiyonlara uygularken yukardaki form yerine daha pratik olan başka bir bakış açısı kullanırız (çünkü bazı durumlarda yukarıdaki tanımı kullanmak pek kolay olmayabilir); i) fonksiyonu iç fonksiyon ve dış fonksiyon olarak belirle, ii) dış fonksiyonun türevini iç fonksiyonu bozmadan al, iii) iç fonksiyonun türevini bul ve bunu bir önceki işlemden elde ettiğin sonuçla çarp,

$$\bbox[#FFA] {\displaystyle\hspace0em\color{magenta}h'(\color{green}x)={\underbrace{\color{red}{f'( }}_{\text{dış fonksiyonun türevi} }} \ \ {\underbrace{\color{red}{\color{blue}{g(\color{green}x)}\ )}}_{\text{iç fonksiyon}}}\ \ {\underbrace{\color{blue}{g'(\color{green}x)}}_{\text{dış fonksiyonun türevi}}}}$$

Şimdi zincir kuralını kullanarak bazı temel fonksiyonların türevini bulalım;

$\color{blue}\checkmark \underline{f(x)=\left[ \ g(x)\ \right]^{\ n}}:$ \begin{align} f(x)&={\color{red}{\left[\ \color{blue}{g(x)} \ \right]^{\ n}}} \\ \\ \text{dış fonksiyon}& = \color{red}{\left[ \ \ \ \ \ \right]^n} \hspace3em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{dış fonksiyonun türevi}=\color{red}{n \ \left[ \ \ \ \ \ \right]^{\ n-1}} \\ \\ \text{iç fonksiyon}& = \color{blue}{g(x)} \hspace3.25em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{iç fonksiyonun türevi}=\color{blue}{g'(x)} \\ \\ f'(x)&={\color{red}{n\ \left[\ \color{blue}{g(x)} \ \right]^{\ n-1}}} \ \color{blue}{g'(x)} \hspace1em \color{fuchsia}\checkmark\\ \\ \end{align}

$\color{blue}\checkmark \underline{f(x)=e^{\ g(x)}}:$ \begin{align} f(x)&=\color{red}e^{\color{blue}{\ g(x)}} \\ \\ \text{dış fonksiyon}& = \color{red}{(\ e \ )} \hspace3em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{dış fonksiyonun türevi}=\color{red}{(\ e \ )} \\ \\ \text{iç fonksiyon}& = \color{blue}{g(x)} \hspace3em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{iç fonksiyonun türevi}=\color{blue}{g'(x)} \\ \\ f'(x)&=\color{red}e^{\color{blue}{\ g(x)}} \ \color{blue}{g'(x)} \hspace1em \color{fuchsia}\checkmark\\ \\ \end{align}

$\color{blue}\checkmark \underline{f(x)=a^ {\ x}}:$ \begin{align} f(x)&=\color{red}a^{\ \color{blue}x}=\left(\color{red}a\right)^{\color{blue}x}=\left(\color{red}{e^{lna}}\right)^{\color{blue}x}=\left(\color{red}e\right)^{\color{blue}{x \ \color{red}{lna}}} \hspace2em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em \bbox[#FFA]{f(x)=\color{red}e^{\color{blue}{x \ lna}}} \\ \\ \text{dış fonksiyon}& = \color{red}{(\ e \ )} \hspace3.5em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{dış fonksiyonun türevi}=\color{red}{(\ e \ )}\\ \\ \text{iç fonksiyon}& = \color{blue}{x \ lna} \hspace3em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{iç fonksiyonun türevi}=\color{blue}{lna} \\ \\ f'(x)&=\color{red}e^{\color{blue}{x \ lna}} \ \color{blue}{lna} \\ \\ f'(x)&=\color{red}a^{\color{blue}x} \ \color{blue}{lna} \hspace1em \color{fuchsia}\checkmark\\ \\ \end{align}

$\color{blue}\checkmark \underline{f(x)=ln \left({g(x)} \right)}:$ \begin{align} f(x)&=\color{red}{ln \left(\color{blue}{g(x)}\right)} \\ \\ \text{dış fonksiyon}& = \color{red}{ln \left(\ \ \right)} \hspace2.5em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{dış fonksiyonun türevi}={1 \over \color{red}{\left( \ \ \right)} }\\ \\ \text{iç fonksiyon}& = \color{blue}{g(x)} \hspace3em \color{fuchsia}{\Rightarrow} \hspace2em\text{iç fonksiyonun türevi}=\color{blue}{g'(x)} \\ \\ f'(x)&={1 \over \color{red}{\left( \color{blue}{g(x)} \right)} } \ \color{blue}{g'(x)} = {\color{blue}{g'(x)} \over \color{red}{ \color{blue}{g(x)} } } \hspace1em \color{fuchsia}\checkmark\\ \\ \end{align}

REKLAM
Önceki Sayfa 2.6 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi (Derivatives of Hyperbolic Functions)
Sonraki Sayfa Çözümlü Problem Set