İSTEMBİL

2.4 Eksponansiyel & Logaritmik Fonksiyonların Türevi (Derivatives of Exp & Log Functions)

En çok kullanılan exponansiyel ve logaritmik fonksiyonlar; doğal exponansiyel fonksiyon $e^\color{red}x$, ve doğal logaritmik fonksiyon $\color{blue}{ln}\color{red}x$'tir. Bu bölüme türevin genel tanımını kullanarak $\color{blue}a^\color{red}x$ fonksiyonunun türevini hesaplamakla başlayacağız. Daha sonra logaritmik fonksiyonların bazı özelliklerini (ters fonksiyon özelliği!) kullanarak $\color{blue}{ln}\color{red}x$ fonksiyonun türevini bulacağız. Buradan elde edeceğimiz sonuçlar çok daha karmaşık yapıdaki fonksiyonların türevlerinin bulunmasında bize yardımcı olacaktır.

\begin{align} f'(x)= (\color{blue}a^\color{red}x)'={d \over dx}(\color{blue}a^\color{red}x)&=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{blue}a^{\color{red}x+\color{green}h}-\color{blue}a^\color{red}x​ \over \color{green}h} \\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{blue}a^\color{red}x \color{blue}a^\color{green}h-\color{blue}a^\color{red}x​ \over \color{green}h}\\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{blue}a^\color{red}x \left(\color{blue}a^\color{green}h-1\right)​ \over \color{green}h} = {\color{blue}a^\color{red}x} \lim\limits_{\color{green}h \to 0} { \color{blue}a^\color{green}h-1​ \over \color{green}h} \\ \\ \end{align}

Şimdi bu noktada hesaplamalarımıza bir ara verelim ve $\color{#A0A}{f'(0)}$'ın türevini aynı yöntemle hesaplamaya çalışalım; \begin{align} \color{#A0A}{f'(0)}= (\color{blue}a^\color{red}0)'={d \over dx}(\color{blue}a^\color{red}0)&=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{blue}a^{\color{red}0+\color{green}h}-\color{blue}a^\color{red}0​ \over \color{green}h} \\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} { \color{blue}a^\color{green}h-1​ \over \color{green}h}\\ \\ \end{align}

Tekrar yukarıdaki hesaplamada kaldığımız yere geri dönelim ve burada bulduğumuz sonucu kullanalım; \begin{align} \color{fuchsia}\Rightarrow f'(x)= (\color{blue}a^\color{red}x)' &= {\color{blue}a^\color{red}x} \lim\limits_{\color{green}h \to 0} { \color{blue}a^\color{green}h-1​ \over \color{green}h}= {\color{blue}a^\color{red}x}\color{#A0A}{f'(0)} \\ \\ \end{align}

Bu noktada biraz duralım! Çünkü türev hesaplamak için türeve ihtiyacımız var. Her ne kadar sıkışmış görünüyor olsakda, $\bbox[yellow]{\color{fuchsia}{e}}$'nin tanımımdan yardım isteyeceğiz... $$ \displaystyle e=\lim\limits_{\color{green}n \to \infty}\left(1+{ 1 \over \color{green}n}\right)^\color{green}n$$ $$ \displaystyle \lim\limits_{\color{green}h \to 0}{ \bbox[yellow]{\color{fuchsia}e}^\color{green}h-1​ \over \color{green}h}=1$$ Bu bilgiler ışığında şimdi de $f(x)=e^x$'in türevini hesaplayalım; $$ f'(x)=(\color{fuchsia}e^\color{red}x)'= \color{fuchsia}e^\color{red}x \color{#A0A}{f'(0)}= \color{fuchsia}e^\color{red}x \lim\limits_{\color{green}h \to 0}{ \bbox[yellow]{\color{fuchsia}e}^\color{green}h-1​ \over \color{green}h}=\color{fuchsia}e^\color{red}x \hspace2em \color{fuchsia}\checkmark $$ Logaritmanın özelliğini ($\color{fuchsia}a=e^{ln\color{blue}a}$) ve yukarıdaki bilgileri kullanarak artık $f(x)=\color{blue}a^\color{red}x$ fonksiyonunun türevini bulabiliriz; $$f(x)= (\color{blue}a^\color{red}x)=(\color{fuchsia}e^{{ln}\color{blue}a})^\color{red}x=\color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a}.$$ \begin{align} f'(x)= (\color{blue}a^\color{red}x)'={d \over dx}(\color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a})&=\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{fuchsia}e^{(\color{red}x+\color{green}h){ln}\color{blue}a}-\color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a} \over \color{green}h} \\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a} \ \color{fuchsia}e^{\color{green}h {ln}\color{blue}a}-\color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a} \over \color{green}h}\\ \\ & =\lim\limits_{\color{green}h \to 0} {\color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a} \left(\color{fuchsia}e^{\color{green}h {ln}\color{blue}a}-1\right)​ \over \color{green}h} \\ &= \color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a} \lim\limits_{\color{green}h \to 0} { \color{fuchsia}e^{\color{green}h {ln}\color{blue}a}-1​ \over \color{green}h}, \hspace4em \bbox[5px,border:0.5px solid red]{\color{green}h {ln}\color{blue}a= \color{green}\alpha,\hspace1em \color{green}h \to 0 \color{fuchsia}\Rightarrow \color{green}\alpha \to 0 } \\ \\ &= \color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a} \lim\limits_{\color{green}\alpha \to 0} { \color{fuchsia}e^{\color{green}\alpha}-1​ \over {\color{green}\alpha \over ln\color{blue}a}} \\ &= \color{fuchsia}e^{\color{red}x{ln}\color{blue}a}\ ln\color{blue}a \ \bbox[#FFA]{\lim\limits_{\color{green}\alpha \to 0} {\require{cancel} \cancelto{1}{ \color{fuchsia}e^{\color{green}\alpha}-1​ \over \color{green}\alpha } \require{enclose}}} \end{align} $$\color{fuchsia}\Rightarrow f'(x)= (\color{blue}a^\color{red}x)'={d \over dx} (\color{blue}a^{\color{red}x})=\color{blue}a^{\color{red}x} ln\color{blue}a \hspace2em \color{fuchsia}\checkmark $$

$$ $$ $\color{blue}\checkmark$Logaritmik Fonksiyonlar:

Logaritmik fonksiyonların türevlerini incelemek için öncelikle birbirilerinin tersi olan fonksiyonların özellliklerinden yararlanacağız. Eğer; $\bbox[#FFA]{f^{-1}(x)=g(x), \hspace2em g^{-1}(x)=f(x)}$

$\hspace16em \color{fuchsia}\Downarrow $

$ \displaystyle \hspace14em \bbox[5px,border:0.5px solid red]{g'(x)={1\over f'(g(x))}}$

$$\color{fuchsia}\Rightarrow f'(x)= (ln\color{red}x)'={1 \over \color{red}x}\hspace2em \color{fuchsia}\checkmark$$ $$ $$

Genel bir logaritmik fonksiyonun türevini hesaplarken yukarıdaki sonucu ve taban değiştirme formülünü kullanabiliriz; $log\color{blue}a^\color{red}x=$ $\displaystyle {ln\color{red}x \over ln\color{blue}a }$ \begin{align} {d \over dx}(log\color{blue}a^\color{red}x)= {d \over dx}({ln\color{red}x \over ln\color{blue}a })={1\over ln\color{blue}a } {d \over dx}({ ln\color{red}x}) ={1\over \color{red}x ln\color{blue}a }\hspace2em \color{fuchsia}\checkmark \end{align}